n階行列式的解法技巧

張媛 王一迪

【摘要】n階行列式的計算是高等代數(shù)和線性代數(shù)中的基本問題，也是重要問題.現(xiàn)整理出幾種常用的解題方法，促進(jìn)學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】n階行列式的解法；降階法；遞推法；加邊法；范德蒙行列式

行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的，行列式可以看作是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣.行列式的特性可以被概括為一個多次交替線性形式，這個本質(zhì)使得行列式在歐幾里德空間中可以成為描述“體積”的函數(shù).

行列式的計算是高等代數(shù)和線性代數(shù)中的基本問題，也是重要問題.由于n階行列式計算的技巧性較強(qiáng)，所以其計算也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).現(xiàn)結(jié)合本人的實(shí)際學(xué)習(xí)體會和實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出以下幾種方法.

1.定義法

利用n階行列式的定義計算.

3.化三角形法

能夠利用三角形行列式來計算的行列式的特點(diǎn)是：有很多相同的元素，利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行線性運(yùn)算的時候可以出現(xiàn)很多的0元素，進(jìn)而化為上（下）三角形來計算.

4.遞推法

能使用遞推法的n階行列式，一般按某一行（列）展開后，可以得到與原行列式類型相同的低階行列式，這樣就可以得到Dn與Dn-1的遞推關(guān)系式進(jìn)行運(yùn)算，兩條線型行列式用此法比較便捷.

5.間接遞推法

8.加邊法（升階法）

其原理是：利用行列式展開的性質(zhì)，把n階行列式通過加行（列）變成與之相等的n+1階行列式，利用行列式的性質(zhì)，把添加進(jìn)去的行（列）適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其他行（列），使其他行列出現(xiàn)更多的零元素或者化成箭頭型行列式，再進(jìn)行計算[4].

加邊法適用于除對角元外，其余元素幾乎相同或者成比例的行列式，或者是各個行（列）所加數(shù)的規(guī)律比較明顯或相同的行列式.

9.范德蒙行列式法

遇到具有逐行（列）元素方冪遞增或者遞減的所謂范德蒙型的行列式時，可以考慮將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式，并利用相應(yīng)的結(jié)果進(jìn)行解題.

運(yùn)用行列式的性質(zhì)進(jìn)行計算更是常用方法，此外，還有析因子法，數(shù)學(xué)歸納法等方法，不同的題目適合不同的方法，需因題而異.很多情況下，一道題目，可能有很多種解法，那選擇哪種方法都是可以的.我們只需要選擇我們善于使用的方法或者是一種更為簡單的方法來解決即可.

N階行列式，雖然是高等代數(shù)中的一個難點(diǎn)，但其方法和技巧卻比較好理解和使用，只要我們在做題過程中善于發(fā)現(xiàn)其規(guī)律和特點(diǎn)，就能選擇合適的方法來解決N階行列式的相關(guān)題目，就會化難為易，輕松解決基本知識.