兩類曲線積分解題方法比較及錯誤分析

范國良

【摘要】通過實例給出對坐標的曲線積分的錯誤及正確解法，并在方向及對稱性上對兩類積分進行比較.

【關鍵詞】對弧長的曲線積分；對坐標的曲線積分；對稱性

【基金項目】國家自然科學基金（11401006）

在《高等數學》中的第十章“曲線積分與曲面積分”的教學過程中發現，很多同學把兩類曲線積分的計算方法混淆，沒有注意到對坐標的曲線積分與方向有關，本文通過例題把錯誤的解題方法與正確的方法進行比較，并對兩類積分從方向及對稱性上進行總結.

AB的方程形式不同，變量t的上下限也不同，注意t的上下限始終要對應起點和終點.綜上所述，在計算對坐標的曲線積分時，首先是確定曲線的參數方程，其次確定參變量的上下限，最后注意參變量變化范圍的寫法與對弧長的曲線積分不同.

三、兩類曲線積分的比較

1.對弧長的曲線積分與方向無關，變量范圍為從小到大；而對坐標的曲線積分與方向有關，變量范圍為從起點到終點.

2.關于對稱性

對弧長的曲線積分與方向無關，可以利用對稱性簡化計算.設L關于x（或y）軸對稱，若f（x，y）關于y（或x）是奇函數，則∫Lf（x，y）ds=0；若f（x，y）關于y（或x）是偶函數，則∫Lf（x，y）ds=2∫L1f（x，y）ds，其中L1是位于對稱軸一側的部分.對坐標的曲線積分與方向有關，所以在考慮對稱性時既要考慮被積函數與曲線的對稱性，還要考慮曲線的方向，因此直接應用比較困難，一般是先轉化為對弧長的曲線積分，然后再考慮使用對稱性.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學教研室.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]殷志祥等.高等數學[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2012.