數形結合思想在概率論教學中的應用

李璇 王斌 魯硯青 蘭莉莉

【摘要】概率論是一門研究事情發生可能性的學科，在生活生產中應用廣泛，但也是學生較難掌握的一門課程，如果在教學中運用數形結合的思想則能使很多復雜的概率問題得以直觀化清晰化，從而達到提高學生學習效率的目的.

一、引 言

概率論作為一門研究隨機性或者不確定現象的學科，有其廣泛的應用性，為此很多高等院校的工科類及經管類專業都將其作為專業基礎課程，但是，由于我們所研究的概率問題的抽象性使得這門課程成為很多學生學習的障礙，另外由于這門學科的很多內容都與高等數學的知識有很大的關聯性，因此對于那些數學基礎相對薄弱的學生而言，概率論是他們的弱項學科.數形結合思想是數學中常用的思想之一，它貫穿于學生的小學中學的數學學習中，使用這種方法可以起到“以行助教”的作用，可以使一些復雜抽象的數學問題變得直觀化、生動化，從而使難題迎刃而解，達到事半功倍的效果.

二、數形結合方法計算幾何概型的概率

例1 甲、乙兩人相約在7點到8點之間在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就離開，如果沒人可在指定的一小時內任意時刻到達，試計算兩人能夠會面的概率.

分析 根據題意，很容易看到這種概率模型應屬于幾何概型，因此我們可以套用計算幾何概型的公式，但是由于問題的抽象性很多學生并不清楚樣本空間和兩人能夠會面所表示的區域大小，通過結合圖形講授此類題目，很多學生便能夠輕而易舉地解決.

解 記7點為計算時刻的0時，以分鐘為單位，x，y分別記為甲、乙到達指定地點的時刻.

第一步：在二維平面上做x軸，y軸，分別表示甲、乙到達指定地點的時刻，則整個空間為S={（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}.

第二步：以事件A表示“兩人能會面”，依題意，只有兩人到達的時刻差小于20時可以會面，因此A={（x，y）|（x，y）∈S，|x-y|≤20}，在圖像上作出相應的直線.

第三步：結合圖像，我們可以看到陰影部分代表“兩人能會面”，而正方形的面積代表整個樣本空間，根據計算幾何概型概率的公式即可得到P（A）=μ（A）μ（S）=602-402602=59.

三、數形結合方法求解一維連續型隨機變量函數的概率密度函數

求解一維連續型隨機變量函數的概率密度函數一直是概率論學習中的難點問題，一部分學生喜歡套用課本中提到的概率密度公式，卻忽略了這種方法的使用條件（函數必須是嚴格單調的），另一部分學生則對于具體的計算題目不知如何處理，運用數形結合的方法則能很好地解決這些問題.

例2 設隨機變量X概率密度為fX（x）=2xπ2，0四、數形結合方法求解二維連續型隨機變量函數的概率密度函數

二維連續型隨機變量函數的概率密度函數的求解方法類似于一維的情形，但是由于二維的計算上更加困難，學生通常用卷積公式來求解這類問題，實際上通過數形結合的方法可以使這類問題的求解一目了然，易懂易學.

五、總 結

以上幾個例題可以看出數形結合方法在概率論教學中的重要性，通過這一方法可以將一些復雜的概率問題變得清晰化直觀化，實踐也證明，在教學過程中融入數形結合的思想，可以增強學生的學習興趣，提高學生的學習效率.