任意角的三角函數定義引入的微課教學設計

張軍鋼

設計的意圖：“任意角的三角函數的概念”的教學設計應注意通過與“銳角三角函數”概念的因襲與擴張關系，引導學生參與“定義任意角三角函數的過程”.有了適切的“立意”，借助怎樣的載體來落實，也是一個值得細究的問題.那么，以“銳角三角函數的概念”作為任意角三角函數的知識生長點是否合適？“銳角三角函數的概念”是以直角三角形為載體，關注的是“解決直角三角形的邊角關系問題”，而對它的函數本性的認識并不是重點，銳角三角函數并沒有被納入函數概念體系中.因此，要使銳角三角函數概念成為教學的起點，還需要一個較長的過程鋪墊：回顧定義——坐標化（全新的學習）——“單位化”（取r=1，全新的學習），而且學生可能無法把任意角的三角函數的概念納入到函數的概念中.

因此，還有一種想法是在函數概念下以“圓心在原點的圓周上的點的坐標”隨角的變化而變化的“操作、觀察”，先讓學生建立起“任意給定一個角α，圓周上就有唯一的一個點P（x，y）與之對應”的直觀感受，把注意力集中在三角函數的“函數特性”上，能使學生認清其對應關系、定義域和值域等，從而真正把握三角函數的“本來面目”.是否可以在“函數是描述客觀世界變化規律的數學模型”的思想指導下，以“如何建立圓周運動的數學模型”為教學起點，調動象限角、弧度制、單位圓、銳角三角函數等相關知識，在建立函數模型的過程中水到渠成地引入任意角三角函數的概念.這樣，既可以使學生知道這一概念的背景、解決的問題，也可以使他們感受運用函數概念建立模型的過程和方法，還可以讓他們體會三角函數在物理學科中的重要性.如果這樣的設計思想能夠實現，那么其效果是一舉多得的.以下為筆者在教學實踐中對任意角的三角函數定義引入的微課設計.

一、教材分析

三角函數是函數的一個基本組成部分，也是一個重要組成部分，在整個高中以至于大學都會經常用到三角函數的知識.初中已經學習過銳角的三角函數，教材第一節學習了任意角的表示方法，這些是學習任意角三角函數的基礎.本節課的主要內容是：正弦、余弦、正切的定義；正弦、余弦、正切函數的定義域.

二、教學目標

理解任意角的三角函數的定義.

三、重點，難點

1.重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義；

2.難點：任意角的三角函數概念的建構過程；

四、教學情景設計

1.引 入

我們初中已經學習了銳角三角函數，知道它是以銳角為自變量，

以比值為函數值的函數，那么高中為什么還要繼續研究呢？

實例導入：“離離原上草，一歲一枯榮.野火燒不盡，春風吹又生.”（王安石詩）.詩中描繪的是自然界中“按一定規律周而復始”的現象，稱之為“周期現象.”我們曾學習過用“指數函數”模型刻畫人口增長問題，用“對數函數”的模型刻畫地震的震級變化，用怎樣的數學模型來刻畫周期現象呢？“周期現象一般與周期運動有關”，一個簡單而基本的例子便是“圓周上的一點旋轉運動”.

2.探 究

情境——選擇數學模型.

問題：摩天輪的中心離地面高度為h0，它的直徑為2r，逆時針方向勻速轉動，轉動一周需要360秒，若現在你坐在座艙中，從初始位置點A 出發（如圖1所示）.

求人相對于地面的高度h與時間t的函數關系式.

先從一個具體情境入手，例如過了30秒后，你離地面的高度如何計算？答：h=h0+rsin30°=h+MP.

再計算幾個：60秒時.答：h=h0+rsin60°.

90秒時.答：h=h0+rsin90°.

一般的，過了t秒呢？猜想（愿望）：

答：ht=h0+rsint0.

“這樣的想法合情，但合理嗎？”

（意圖：先從幾個特殊情形出發，而后猜測一般性結論，再進行合理性論證！）

總結：人距離地面的高度h=h0+MP，其中h0是不變量，MP表示點P 到水平位置OA的距離，是變量；可以通過點P旋轉的角度∠POA的大小，再結合初中銳角三角函數來計算.

3.分析數學模型

問題：對任意角∠POA；sin∠POA該如何定義？對前面這個問題往下具體分析：

當時間為t秒時，人距離地面的高度用h=h0±MP來表示，其中MP 表示點P到水平位置OA的距離.

對比：h=h0±MP與ht=h0+rsint0.

愿望：要想兩者和諧統一.

必須有：rsint0=±MP即：sint0=±MP/r.

小結：點P在圓周上旋轉運動，引起∠POA的變化，對任意一個確定的∠POA對應著唯一點P，進而有唯一的MP，得到sin∠POA=±MP/r①.

提問一：①式的分子何時取正值，何時取負值？

答：OA上方為正，OA下方為負.

提問二：根據①式這些特點，用怎樣的一個量來替代MP或-MP，可以使上面的表示更簡潔？

答：建直角坐標系，利用P的縱坐標替代MP或-MP.

4.建構三角函數的定義

任意的角的正弦一種定義方法.

（1）把α“放到直角坐標系內”.

（2）以原點為圓心，半徑r 作圓，

又與α的終邊相交于點P 坐標為（x，y）.

（3）規定：sinα=yr.

5.分析：以上規定是否合理？

問題一：當α為銳角時，此規定與初中定義矛盾嗎？

結論：不矛盾，而且坐標法的引入擺脫了銳角的束縛.

問題二：圓的半徑r大小有限定嗎？

結論：根據相似三角形的知識，對于確定的角α，這個比值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變，是唯一確定的.

問題三：半徑r取多少時，會使得比值更加簡潔？

結論：可以考慮取r=1，這樣的圓我們稱單位圓.

即：在直角坐標系中，以原點為圓心，以單位長度1為半徑的圓.

（意圖：可以打破知識結構的平衡，感受到學習新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數也應該“與時俱進”，并不顯得突然.把定義的主動權交給學生，引導學生參與定義過程發展思維.）

6.導出任意角的三角函數定義

設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么，

y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；

x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

yx叫做α的正切，記作tanα，即tanα=yxx≠0.

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，我們將它們統稱為三角函數.使比值有意義的角的集合即為三角函數的定義域.

7.歸納總結，注重滲透

本節課通過對實際問題的解決，學習了任意三角函數的概念.請同學們簡要回顧探究過程.三角函數的定義可謂“看似平凡最崎嶇.成如容易卻艱辛.”（王安石詩）.早期的三角學隸屬于天文學，為了天文觀測的需要，與古希臘幾何有不可分割的聯系.盡管三角知識起源較早，但在歐拉以前，人們對三角函數的研究大都在一個半徑不定的圓內進行的，運用起來很不方便.直到歐拉時代，才令圓的半徑為1，置角于單位圓中，把三角函數定義為相應的線段與圓半徑1之比.教材中現在的定義與歷史上大數學家歐拉的定義是一致的.歐拉用直角坐標來定義三角函數，徹底解決了三角函數在四個象限中的符號問題，使三角函數成為研究現實世界中周期變化現象的“最有表現力的函數”.

（設計意圖：對教學內容進行歸納、疏理、提升.有意加強數學文化的熏陶，讓學生在數學學習中尋求數學發展的歷史軌跡，感受數學家們嚴謹治學和鍥而不舍的探索創新精神，從而提升自身的文化素養和創新意識.）

【參考文獻】

[1]簡洪權.高中數學運算能力的組成及培養策略[J].中學數學教學參考，2000.1-2.

[2]張衛國.例談高考應用題對能力的考查[J].中學數學研究，2001.3.