函數(shù)概念的呈現(xiàn)方式

周月

【摘要】代數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，而函數(shù)是代數(shù)的核心知識，也是代數(shù)的難點(diǎn).教材編寫應(yīng)當(dāng)遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，關(guān)注學(xué)生個性差異，提倡多樣化的學(xué)習(xí)方式，努力為學(xué)生創(chuàng)造自主探究、合作交流的空間，為教師營造教學(xué)創(chuàng)新的環(huán)境，為師生互動式教學(xué)提供民主的氛圍和豐富的資源.而要達(dá)到這一目的，教材編寫應(yīng)遵循螺旋上升的原則.通過螺旋上升的教材編排形式，函數(shù)概念的影子從小學(xué)、初中、高中越來越清晰.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)概念；呈現(xiàn)方式；螺旋式上升

M·克萊茵說過，一般受教育者在課堂上應(yīng)該學(xué)會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的一條主線.因此，函數(shù)的學(xué)習(xí)必須強(qiáng)調(diào)連續(xù)性與整體性，必須多次接觸，反復(fù)體會，螺旋式上升，逐步加深理解，才能真正掌握，靈活運(yùn)用.在當(dāng)前的基礎(chǔ)教育新課程中，“螺旋式上升”的課程設(shè)計和教材編排得到普遍認(rèn)同.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出“重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想方法宜體現(xiàn)‘螺旋式上升的原則”.本文就人教版數(shù)學(xué)小學(xué)、初中、高中在函數(shù)這一知識體系的呈現(xiàn)上如何體現(xiàn)“螺旋式上升”的.

1.小學(xué)——函數(shù)是對應(yīng)

小學(xué)階段在認(rèn)識數(shù)的過程中，我們經(jīng)常會遇到這樣的問題： + =5，這是我們接觸到函數(shù)的最早模型，方框中可以填寫1、4；2、3，但每組數(shù)必須對應(yīng).到了五年級，我們在“量一量找規(guī)律”這一節(jié)，探究彈簧伸長長度和拉力大小有什么關(guān)系，“函數(shù)”概念逐漸體現(xiàn)，并且學(xué)生們開始接觸可以將一組一組對應(yīng)的數(shù)通過表格、折線圖表示.在這一階段，沒有函數(shù)的概念，僅僅有一些對應(yīng)的數(shù)的概念.但這些對應(yīng)的數(shù)他們不陌生，在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，他們知道照片上的人和他的名字是一種對應(yīng)；商店中文具與價錢也是一種對應(yīng)，這些都是對應(yīng)的現(xiàn)實模型.史寧中教授認(rèn)為，整個基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)從課程設(shè)計的角度統(tǒng)籌考慮.我們應(yīng)當(dāng)清楚每個年齡段的學(xué)生適于學(xué)習(xí)什么，怎樣學(xué).如果把小學(xué)分為兩個學(xué)段，第一學(xué)段不要過多地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，因為那時的孩子還不能很好地理解數(shù)學(xué)所表達(dá)的意義；第二階段不要過多地涉及邏輯，因為學(xué)生還沒有建立起足夠的可以理解邏輯的概念.所以，在這個階段我們沒有提出函數(shù)的概念.

2.初中——函數(shù)是變量

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為影響學(xué)習(xí)最重要的一個因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道的是什么.開始接觸函數(shù)概念之前，學(xué)生所學(xué)的大多數(shù)是靜態(tài)的代數(shù)內(nèi)容：代數(shù)式與方程.函數(shù)作為新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找不到有關(guān)觀念與之聯(lián)系.所以教材在提出函數(shù)概念之前先舉出4個例子：①汽車勻速行駛過程中，行駛路程s隨行駛時間t的變化；②電影票房收入y隨售出電影票的張數(shù)x的變化；③圓的面積s橢圓半徑r的變化；④周長固定，矩形一邊長y隨另一邊長x的變化.通過分析這些例子的共同屬性引入常量和變量.在此基礎(chǔ)上，引入“函數(shù)”與“自變量”的概念，即“設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)”.在這一階段，學(xué)生對函數(shù)認(rèn)知的螺旋式上升體現(xiàn)在：①實現(xiàn)了靜態(tài)向過程的轉(zhuǎn)變.函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，使學(xué)生產(chǎn)生應(yīng)用單個“變量”刻畫“變化過程”的意識，學(xué)會借助作為“變化過程”的函數(shù)，進(jìn)行在靜止與運(yùn)動、離散與連續(xù)之間思維方式的變化，這是認(rèn)知能力的飛躍.②實現(xiàn)由算式向函數(shù)的轉(zhuǎn)變.初中函數(shù)概念比較宏觀，是動態(tài)的定義，但在初中階段研究的對象卻不都是“運(yùn)動”的，而是我們用“運(yùn)動”的觀點(diǎn)去看待，這是思維方式的巨大改變.πr2也是變量，因此，每個代數(shù)式都是這個字母的函數(shù).這樣，從函數(shù)學(xué)習(xí)的觀點(diǎn)重新認(rèn)識代數(shù)式，找出了代數(shù)式與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.從而，既訓(xùn)練了學(xué)生思維的活躍性，也促進(jìn)了思維結(jié)構(gòu)的迅速改組.并且，在學(xué)習(xí)“函數(shù)與圖像”后，明確算式只是函數(shù)的一種表示，表格、圖像都可表示函數(shù)，求方程的根可以看作是求已知函數(shù)的值為零時自變量的值，逐步讓學(xué)生認(rèn)識到可將很多問題統(tǒng)一到函數(shù)范疇，用函數(shù)表征變量之間的關(guān)系.

3.高中——函數(shù)是關(guān)系

根據(jù)初中生的認(rèn)知能力，初中教材只是讓學(xué)生初步了解函數(shù)概念，只要求學(xué)生知道兩個變量對應(yīng)，而沒有揭示函數(shù)中的兩個變量應(yīng)按怎樣的法則進(jìn)行對應(yīng)這一實質(zhì).到了高中，從集合、對應(yīng)關(guān)系的觀點(diǎn)出發(fā)定義函數(shù)，突出“對應(yīng)關(guān)系”.即設(shè)A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記y=f（x），x∈A.這種定義，是對初中函數(shù)定義進(jìn)行的抽象化，精確化，是一種微觀表現(xiàn)形式.在這一階段，學(xué)生對函數(shù)認(rèn)知的螺旋式上升體現(xiàn)在：①實現(xiàn)函數(shù)宏觀到微觀的轉(zhuǎn)變.初中函數(shù)概念刻畫了函數(shù)外部特征，認(rèn)為“函數(shù)是變量”.然而，對函數(shù)的進(jìn)一步研究，需要在宏觀的基礎(chǔ)上，微觀的研究.所以用“對應(yīng)關(guān)系”來理解函數(shù)是很有必要的.這一轉(zhuǎn)變，使學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)知得到進(jìn)一步提升.②實現(xiàn)函數(shù)“具體化”到“形式化”的轉(zhuǎn)變.從變量到函數(shù)的抽象符號表示過程來看，學(xué)生可能產(chǎn)生理解障礙，思維受阻.為了突破抽象的函數(shù)語言帶來的思維障礙，教材在函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生通過多種訓(xùn)練方式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“形式化”的表征，認(rèn)識到“形式化”函數(shù)語言的本質(zhì).

所以，學(xué)生對函數(shù)概念的理解，需要一個循序漸進(jìn)、螺旋式上升的過程.提高學(xué)生對函數(shù)的理解能力、應(yīng)用能力的關(guān)鍵，是要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)識變量、突出關(guān)系、區(qū)別函數(shù)與算式、掌握“對應(yīng)”、把握“形式化”描述、形成函數(shù)對象等螺旋式上升的認(rèn)知過程.