競賽數學中的幾種解題思維方法

【摘 要】系統地討論了競賽數學的幾種常用的解題理論、解題思維和方法。有助于解決競賽數學中遇到的常見問題。具有一定的可操作性。

【關鍵詞】構造法;反證法;數學歸納法;染色法;賦值法

隨著數學競賽的發展，已逐步形成一個特殊的數學學科——競賽數學。它涉及到數學競賽的內容、思想和方法;也涉及到數學競賽教育和數學課外教育的本質、方法、規律和途徑問題。根據競賽數學的題目特點，本文歸納出其中常見的幾種解題思維方法。

一、構造法

解題通常在問題給定的系統里由題設推出結論。但對某些問題（例如存在性問題，條件與結論相距較遠的問題等），直接推理有時不能順利進行，因而不得不尋找某種中介工具溝通條件和結論的聯系，這種通過構造題目本身所沒有的解題工具，去實現解題的方法，就是構造法。

例1： 證明 對于和為1的正數 ?不等式

成立。

證明： 設A是不等式的左邊，構造

說明B的構造受下式啟發

=

下面求證：利用不等式即得

二、反證法

一個命題，當我們不易或無法直接證明時，就應當想到用反證法嘗試。可以概括為：若肯定定理的假設而否定其結論，就會導出矛盾。

例2：試證 （1）如果正整數n使方程x3-3xy3+y3=n有一組解（x，y）那么這個方程至少有三組整數解。

（2）當n=2891時，上述方程無整數解。

證明：（1）設（x0，y0）是方程的一個解，令x0=y0+y1，

則（y0+y1）3-3（y0+y1）y02+y03=n化簡后得（-y0）3-3（-y0）y12+y13=n。

所以（x1，y1）=（-y0，x0-y0）也是方程的解，且（x1，y1）≠（x0，y0）。事實上 若x1=x0，y1=y0，則-y0=2y0，得y0=0，x0=0。代入原方程得n=0，這與n是自然數矛盾。

再令，代入已知方程，化簡后得。

所以也是方程的一個解。類似上面局部反證，又證，，故方程有3組不同的解。

（2）假設有整數，

因為所以。

這只有下列三種情形可行，，。

根據（1）所證同時為方程的解，故后兩種情況又歸結為第一種情況，令代入已知方程有

而2891≡2（mod9），方程兩邊對模9不同余，矛盾，故已知方程無整數解。

三、數學歸納法

數學歸納法是數學中最基本也是最重要的方法之一。它在數學各個分支都有廣泛應用。其實質在于：將一個無法（或很難）窮盡驗證的命題轉化為證明兩個普通命題：“p（1）真”和“若p（k）真，則p（k+1）真”，從而達到證明目的。

例3：已知對任意，有，求證：。

證明：（1）當時，由，命題成立。

（2）假設當時，命題成立。即

當因為

又

于是

因為， 所以

又因為，故

解得 （舍去）.

所以時命題也成立。從而對，命題成立。

四、染色法

染色法，即是指根據問題的情境，把問題的對象適當地染上若干種顏色，從而把問題轉化為染色問題而加以解決的一種解題思想方法。

用染色法解題，其關鍵是根據問題的特點，選取恰當的染色方法對問題的對象進行染色，從而把問題轉化為熟悉的或易于解決的問題。

例4：有17位科學家，其中每一個人和其他所有的人通信。他們的通信中只討論三個題目。求證：至少有三個科學家相互之間討論同一個題目。

證明：用平面上無三點共線的17個點分別表示17位科學家。17點間兩兩連線。兩位科學家若討論第一個題目，則把對應兩點間連線染上紅色，若討論第二個題目，則把對應兩點間連線染上黃色，若討論第三個題目，則把對應兩點間連線染上藍色，于是只需證明這17個點為頂點的三角形中存在同色三角形。

考慮以為端點的線段。由抽屜原則知，這16條線段中至少有6條同色，不妨設為紅色，現考察連接的15條線段：若其中至少有一條紅色線段（如），則同色三角形已出現（紅色△）;若沒有紅色線段，則這15條線段只有黃色和藍色，所以一定存在同色三角形（黃色或藍色三角形）。問題得證。

五、賦值法

對于某些數學競賽問題，若能根據問題的具體情況，合理地、巧妙地對某些元素賦值，特別是賦予確定的特殊值（如+1或-1，0或1等），往往能使問題數值化、直觀化、簡單化，這就是賦值法。

例5： 有男孩、女孩共n個圍坐在一個圓周上（n≥3），若順序相鄰的3個人中恰有一個男孩的有a組，順序相鄰的3個人中恰有一個女孩的有b組，

求證：3|a-b ?。

證明：將n個孩子依次賦值：

，

，則相鄰三個值的和

，且。

設取值為3的Ai有c個，取值為-3的Ai有d。依題意，取值為1的Ai有b個，取值為-1的Ai有a個，則

故3|a-b ?。

參考文獻：

[1]陳傳理.競賽數學教程.北京：高等教育出版社，1996年第一版

[2]張同君.競賽數學解題研究.北京：高等教育出版社，2000年第一版

作者簡介：

錢曉平（1979～），助教，研究方向：基礎數學，2003 年畢業于南昌大學數學系，現任教于新余學院數學與計算機學院。