妙用變換巧解題

姜奎宏

摘 要：幾何問題主要考察了學生們的思維變換能力。有些幾何問題在不經圖形變換的情況下很難解答，但往往通過簡單的圖形平移、旋轉等變換就很容易得到問題的答案。利用圖形變換解題的技巧也已經成為幾何題目的重要考察點。

關鍵詞：幾何問題；變換；新圖形；解題技巧

有些幾何問題初看很難入手，但當把圖形的某一部分或平移、或旋轉、或翻折等變換后，便可將分散的條件相對集中，發現新圖形的一些奇妙性質，解題思路也就隨之暢通。請看下面幾個例子：

例1.在平行四邊形ABCD中，點A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分別為AB和CD的五等分點，點B1，B2和D1，D2分別是BC和DA的三等分點，已知四邊形A4B2C4D2的面積為1，則平行四邊形ABCD面積為（ ）

A.2 B.35 C.53 D.15

分析：此題根據面積公式無法直接計算，注意到A4D2，B2C4，A4B2 D2C4，故可考慮將△AA4D2平移與△CB2C4拼接，△BA4B2平移與△DD2C4拼接，也可將陰影部分四邊形A4B2C4D2先分割、再平移拼接，這樣圖中陰影部分與的ABCD面積關系便一目了然。

解：將陰影部分四邊形A4B2C4D2分割，平移

可知S四邊形A4B2C4D2=SABCD

∴SABCD =×1 =

故選（C）

例2.如圖2，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD，AB∥EF，AB=10，CD=8，EF=6，求圖中陰影部分面積。

分析：根據條件，運用有關面積計算公式直接計算陰影部分面積有困難。注意到AB∥CD，AB∥EF，于是圖中陰影部分面積可先考慮等積變換轉化為扇形OCD、扇形OEF的面積（如圖3），再將扇形OEF通過旋轉變換至圖4位置，問題便迎刀而解。

解：連結 OC、OD，OE、OF

∵ AB∥CD，AB∥EF

∴ S扇形OCD=S陰影CAD

S扇形OEF=S陰影BEF

∴S陰影= S扇形OCD+ S扇形OEF

將扇形EOF繞點0按逆時針方向旋轉，使OF與0D重合

由題設條件AB=10，CD=8，EF=6

故旋轉后的兩個扇形恰好構成一個半圓（如圖4）

∴ S陰影=S⊙O=π

例3.如圖 5，正方形 ABCD 中，∠EAF=45°，AE、AF 交 BD 于 E、F，求證：BE2+DF2=EF2

分析：由結論可知三條線段為一直角 三角形的三邊長，但圖中三條線段在同一直線上，故考慮用旋轉變換方法 構造新的圖形來證題。

證明：將△AFD繞A點順時針旋轉90°得△AF'B，連F'E，

則AF'=AF

F'B=FD

∠F'AB=∠FAD

∵∠EAF=45°，∠BAD=90°

∴∠FAD+∠BAE=45°

∴∠F'AB+∠BAE=45°

即∠F'AE=45°

∴∠F'AE=∠FAE

∴△AF'E≌△AFE

∴F'E=EF

∵∠F'BA=∠ADF=∠ABE=45°

∴∠F'BE=90°

∴BE2+F'B2=EF'2

∴BE2+DF2=EF2

例4.如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，DC=2，求AD。

分析：本題想從已知條件直接求出此三角形的面積確實有些困難，如果從題設∠BAC=45°，AD⊥BC出發，可以捕捉到利用軸對稱性質構造一個正方形的信息，那么問題立即可以獲解。

解：如圖6，將△ABD沿AB翻折180°得Rt△ABE，將Rt△ACD沿AC翻折180°，得Rt△ACF，延長EB，FC交于G。

在四邊形AEGF中，∵∠EAF=∠E=∠F=90°

AE=AF=AD

∴四邊形AEGF為正方形

∵∠G=90°

EG=FG=AD

令AD=x，則BG=EG-EB=x-3

CG=FG-FC=x-2

于是在Rt△GBC中，由勾股定理（x-3）2+（x-2）2=52

整理得x2-5x-6=0

∴x1=-1（舍去），x2=6

即AD=6

說明：（1）本題另一解法如圖7：先將△ABC補成等腰Rt△AEF，然后將△ACF繞點A順時針旋轉至△AGE的位置，在Rt△BEG中，應用勾股定理便可得其解（過程略）。

（2）例3也可以采用翻折的方法，如圖8，將△ABE沿直線AE翻折180°得△AB'E，連接B'F，同樣可得結論（證明過程略）。

幾何問題往往是巧妙的，讓圖形“動”起來是研究圖形的好方法。在證明和求值的諸多幾何問題中，如果不能直接找到解題的突破口，我們就要另辟蹊徑，細心觀察圖形，抓住一些重要的條件（例如：線段和角度），借助圖形變換巧解題，從而化復雜為簡潔，化不規則圖形為規則圖形。