潤物無聲 內化無痕

莊偉

摘 要：2011年版的《義務教育數學課程標準》將“雙基”變成“四基”，其中的基本思想具有重要作用。此處，基本思想與數學思想意義重疊。小學數學教學中，數學思想的教學與另外三基不同，其更多地以緘默知識的形態出現，在學生的實際學習中起著隱性的支撐作用。因此，數學思想重在滲透，重在“悟”。數學思想的滲透需要教師對思想、數學思想的概念理解基本到位，需要在常態教學中以實例的方式進行研究，數學思想與數學素養及數學教師的專業成長密切相關。常態教學中，用“潤物無聲”來描述數學思想的滲透具有形象性，能夠引發共同認知。

關鍵詞：小學數學；數學思想；滲透；有效途徑

2011版的《義務教育數學課程標準》相對于實驗稿而言，變化之一就是從傳統意義上的基礎知識與基本技能，變成除此二者之外的基本思想以及基本活動經驗。就基本思想而言，主要當指數學思想，在小學數學教學中，數學思想的教學對教師的挑戰相對更大，因為在習慣了教授知識的背景下，數學思想的教學可謂是一個新命題。盡管課程改革推進至今已經十多年，但應當看到近幾年來，課程改革的火苗已經相對微弱，課堂某種程度上正在向原來的狀態回歸，這其中固然有新課程改革實踐之后的些許不足，同時也存在著教師教學習慣對教學行為有著決定性的影響。在這樣的背景之下，筆者以為在小學數學教學中實現數學思想的有效教學顯得更為可貴。只是作為具有一定哲學含義的數學思想，其不可能像知識教學那樣顯性且“可教”，更多的應當是在知識傳授的過程中進行滲透，而滲透的境界之一就是潤物無聲。對此理解，筆者進行了梳理。

一、數學思想的概念理解

課程標準指出，“數學思想蘊含在數學知識形成、發展、應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等”。通過這樣的描述，你會發現數學思想與數學知識與方法的關系，也可以推理出其與基本的數學活動體驗之間的關系，同時還可以看出，數學思想與常規的思維方法之間也有諸多重合之處?！读x務教育課程標準解讀》也指出，數學思想重在“悟”，并且給出了具體的指導，如反復理解、螺旋上升等。

對數學思想的理解當然不止這些，但應當看到的是，只要建立了類似于這些的數學思想的概念理解，對數學思想的教學才有可能尋找到正確的道路。如同一個“悟”字所給出的啟示一樣，對于小學生而言，數學思想不是教師教出來的，而是在數學知識建構的過程中“悟”出來的，而既然是悟，那就只能是一種潤物無聲的過程，因此筆者以為潤物無聲是小學數學思想教學的重要途徑，某種程度上講還是一種教學的境界。

二、數學思想的有效滲透

滲透，也是要講究有效性的。潤物無聲其實是一個形容詞，意指小學數學教學中的數學思想滲透要像春雨滋潤小苗一樣，雖然無聲，但卻有效。下面通過兩例來說明。

“自然數的認識”是小學數學教學的基礎性內容，因為內容基礎，所以數學思想的滲透似乎沒有很好的抓手，也因為基礎，數學教師對數學思想在教學中的滲透又似乎缺少意識。而在筆者看來，在這一類知識的學習中，更需要引導學生參與數學體驗，以更好地實現數學思想的滲透。

一般情況下，認識自然數都是從向學生提供與數有關的實物或者圖片開始的，一般教學中以圖片居多。在某教學實例當中，教師向學生呈現了：三個蘋果、兩個蘋果；三個橘子、兩個橘子；三個梨、兩個梨。這樣的情境創設的目的在于讓學生通過分類去認識2和3兩個自然數。這樣的認知過程與學生在學前階段的識數不同，那個時候往往是抽象的數的灌輸，而這里是具體情境中從實際向數學的抽象，以及“等數性”觀念的滲透。這里可以說得更為詳細一些：從三個蘋果、兩個蘋果到3和2，需要的是學生剝離了具體的蘋果等事物之后，剩下的關于數的觀念，知道3和2分別可以描述三個蘋果、兩個蘋果，如果通過演繹，還可以知道同樣可以描述其他具有3和2個事物。

在這里，潤物無聲、內化無痕實際上是通過“等數性”來體現的。當不同事物具有3或2這個“數”量的時候，3和2所表現出來的一種代表性，等數的背后是數對不同性質的事物的數量特征的描述。在這個過程中，從實際向數學的抽象，自然數所具有的概括性特征，其實就是自然數背后的數學思想。

實際教學中，要通過不斷重復，讓學生去體驗這種數學思想，這也是為什么一些名師的課堂上，常常用3和2的多個事物不斷地向學生呈現的原因。不過對于“外行”（準確地說是不知道其中數學思想的部分數學教師）來說，還可能認為是無意義的重復，這實際上忽視了數學抽象、等數性等思想所支撐的自然數的教學規律。

又如數學思維方法的教學。數學思維方法是數學思想的另一種體現，數學思維方法往往在基于教材且高于教材的教學中，能夠高度吸引學生的注意力。如筆者在教學中給學生一道經典的數學題：在一個由9個方格組成的正方形中填入1-9個數，如何保證橫、縱及斜（對角線）上三個數字之和均相等？

不出意外，通常情況下學生都會通過嘗試的方法去進行，這個過程中必然會經歷一些錯誤，因此嘗試的過程實際上就是試錯的過程。這對于數學問題解決來說是一條重要的思路，但學生肯定是不會滿足于這種方法的。在學生的這種心理之下，再與學生逐步解決這樣的一些問題：是不是能夠知道橫、縱、斜三個數字之和是多少？橫、縱、斜求和的時候都會“遇”到哪一個空格？這個空格的數字最大可能是哪個？

這些問題的逐步解決，實際上是給學生一種思維方法的啟發，即將主目標演繹成次目標；對題設與問題采取兩邊向中間“走”的分析方法；最后通過尋找關鍵一格的方法破解難題。

這個過程中，學生的思維依次經歷了演繹、推理、確定重點等過程，這些過程的名稱學生不清楚，但過程本身的經歷已經決定了學生經歷了一個數學思想方法的運用過程，顯然這是一個隱性的、潤物無聲的內化過程。

這里既然強調滲透，那就意味著數學思想的體現只能是隱性的，只能是讓學生在面對形象的生活對象進行自然數的認識過程中體驗數學抽象，只能是讓學生在對同量不同性的事物的比較中體驗自然數。在這里，體驗與比較是有形的，數學抽象與等數性的認識是無形的，這也就是數學思想強調滲透的關鍵所在。

三、潤物無聲的數學思想

再回到潤物無聲這一關鍵詞上，作為修飾小學數學教學中數學思想滲透的關鍵詞，其隱喻是用數學思想去滋潤學生的數學學習過程，在這個過程中，知識的積累是有形的，知識的應用與問題解決思路的形成也是有形的，但數學思想卻是無形的。不過這個無形是相對于學生來說的，也就是說我們要讓學生在數學體驗的過程中，在運用具體的數學思維方法的過程中，逐步生成關于數學思想的認識，這種數學思想對于學生來說一般是一種緘默知識，是不為學生所知的，但卻能夠對學生的數學學習過程與數學知識的運用過程產生影響的知識。需要指出的是，“潤物無聲”這樣的描述，可以在常態的小學數學教學中獲得更多的共同認知。

而相對于數學教師而言，其又應當是有形的，任何一個數學知識的教學中，可以采用哪些具體的有形的方式，可以讓學生收獲數學思想，那是數學教師需要思考的問題，且在課程改革的背景下應當成為主要問題之一，這樣才能推動學生數學知識構建有一個新的高度，而對于數學教師來說，通過數學思想的研究來提升自身的教學技藝，也是一條“捷徑”。從這個角度來看，研究數學思想的有效滲透途徑，研究如何才能讓數學思想有潤物無聲的效果，實際上就關系到學生的數學素養以及教師自身的教學素養的提升。

需要提醒的是，在“四基”當中，唯有基本思想是隱性特征較為明顯的一個內容，相對于基礎知識、基本技能和基本活動經驗而言，基本思想其實最具有統領性、暗示性的作用，某種程度上講，另外的三基都是基本思想作用的結果。因此研究這一暗線對于其他內容的教學來說，具有杠桿意義，實際教學中不可輕視。