列舉法

施勁松

[摘 要]列舉法是數學學習中常用的一種方法，操作方法簡單，適用范圍廣，能幫助學生解決復雜的問題。不可否認，這種方法也存在一定的局限性，給人以“笨”的印象。教師在教學中要著重引導學生，使之靈活運用這個“笨”方法，提高解題技能。

[關鍵詞]列舉法 “笨”方法 “活”方法 思維通道

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）17-039

列舉法是一種借助對具體事物的特定對象，從邏輯上進行分析、羅列，直到得出結果的方法。如何把這種“笨”方法變成“活”方法，在它們之間構建起思維通道呢？接下來，我將通過分析列舉法的教學現狀、梳理人教版教材來談談自己的看法。

一、掃描“笨”現狀，冷視“活”呈現

列舉法作為數學中的通法，使用范圍廣、形式直接、方法明了易懂。但這個所謂的“笨”方法其實也不好用，它蘊涵著許多數學原理和思想方法，稍有不慎就會弄巧成拙。下面是幾種常見的列舉法教學現狀：

1.真“笨”——面面俱到型

如教學數學廣角“雞兔同籠”時，我出示例1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？”部分學生用列舉法找出了答案，我在全班學生面前表揚了他們。

此時有學生小聲地說：“這個方法真‘笨，要把所有可能一一列出來。”基于以上課堂細節，我在課后進行了調查，發現并不是所有的學生都喜歡這種“面面俱到”的方法。統計結果如下：27.3%的學生認為這是好個方法，72.7%的學生認為太麻煩。這樣的調查結果引起了我的思考，這樣的完整列舉真的很好嗎？

2.假“活”——急功近利型

如教學“小數的意義和性質”時，我讓學生完成練習十的思考題：用數字卡片2、3、4和小數點 . ，能夠組成多少個不同的小數（每張卡片都要用上）？一開始，我先讓學生說一說解題的方法，很快就有學生提出用列舉法。我對這個方法給予了肯定，學生開始進行合作研究。5分鐘后，在課堂結果展示環節中，學生反饋了兩種“急功近利”的研究結果：一種是很快有得到了結果，但結果不完整；另外一種的結果雖然完整，但看起來雜亂無章，缺乏有序思考。我不禁思考，這種現象該如何解決？如何讓“笨”方法變成“活”方法？

3.“笨”“活”結合——表里不一型

如教學“三位數乘兩位數”練習八第12題“用0、2、3、4、5組成三位數乘兩位數的乘法算式，你能寫出幾個？你能寫出乘積最大的算式嗎？”時，學生的第一反應是用“笨”方法來解答，把滿足條件的算式都羅列出來，從組成最大數開始考慮。他們先用5、4、3組成最大的三位數543，然后用剩下的0和2組成20，最后把這兩個數相乘，卻發現得等到的結果并不是最大的。于是他們做了一些調整，把5和4放在最高位，按上述方法再次進行操作。最后我和他們一起回顧整個過程，整理思路。因為一開始的想法比較“笨”，學生在列舉時花費了大量的時間，雖然方法比較“活”，但“表里不一”，總體效率不高。

現實教學中，由于各種客觀原因，教師未能把列舉這個“笨”方法真正用到實處。但“笨”方法真的是可有可無、可教可不教的方法嗎？我認為答案一定是否定的。帶著這樣的認知和思考，我細細研讀課標和教材，結合課堂教學和生活實際，尋找溝通“笨”方法和“活”方法的思維通道，發現“笨”方法其實有很大的改善空間。

通過仔細梳理人教版教材中關于列舉法的內容，我發現其背后的“活”價值。列舉法就是讓學生經歷從“笨”方法到“活”方法的體驗，使之體會數學思想方法對解決問題的作用，構建思維通道，培養學生的思維能力。

二、運用“笨”方法，激發“活”思維

數學課堂上，研究和解決問題往往需要通過實踐和探究活動把所有可能出現的情況列舉出來。這種看起來比較“笨”的方法，其實正好能逐步激活學生已有的認知水平和知識經驗儲備。在此基礎上，教師應進行恰當的引導，幫助學生構建思維通道，使他們在使用列舉法時逐步有序起來。“序”是列舉法的核心，只有經歷這樣的過程，思維才能“活”起來。學生通過有序地思考問題、解決問題，才不會使結果出現遺漏或重復的現象。

1.“笨”操練，激活“序”

【“長方形和正方形”例5教學片斷A】

出示例5：用16張邊長是1分米的正方形紙拼長方形和正方形。怎樣拼，才能使拼成的圖形周長最短？

生1：我們可以動手拼一拼，然后對不同的拼接結果進行比較，就可以知道答案了。

師：拼的時候要注意什么呢？

生2：要注意順序，先嘗試排1排，再嘗試排2排、3排……

師：這樣做有什么好處呢？

生2：這樣做能很好地避免重復或遺漏的情況。

師：你的想法很好！分類、按順序列出所有的可能情況，是學習數學的重要方法。根據這個方法，下面我們開始活動吧。

（學生操作，教師巡視學生分類、列舉的操作過程，適時進行引導，最后組織學生交流匯報結果，激活學生的“序”）

小學生的思維以形象思維為主，其發展要經過相當長的由具體到抽象的過程，他們的思維能力還相當薄弱。教師要給學生必要的提示，幫助學生形成清晰的思路。

2.“笨”探究，靈活“序”

【“長方形和正方形”例5教學片斷B】

師：同學們剛才借助小正方形，運用列舉法把可能的結果一一列了出來。如果不借助小正方形，你能把這些可能的結果都列舉出來嗎？

生1：可以用除法，把16個小正方形拼成1排、2排、3排……然后思考拼出圖形的長和寬。

師：你能具體說一說嗎？

（學生說思路，教師協助列舉，補充表格）

師：像這樣把可能出現的情況一一列舉時，要注意什么？

生2：要注意按一定的順序列舉。

生3：排除不符合要求的情況。

生4：既不能重復，也不能遺漏。

根據學生的特點，教師要放手讓學生在動手、動口和動腦的相互協助中進行自主探究知識的活動，并內化成自身的認知經驗。上述教學片斷中，教師適時提出不借助學具進行列舉的要求，引導學生體會到根據長和寬的特點進行列舉比較的方便之處和簡潔性。把用列舉法得到結果記錄在表格中，既能減輕學生記憶的負擔，又能使學生喜歡上填表列舉的方法，激起學生優化方法的欲望，發展他們思維的有序性。

三、調整“笨”排列，構建“活”通道

數學思想方法是數學知識的精髓，但數學思想方法的形成不是一日之功就能實現的。隱性的經驗只有經過篩選、調整、積累等過程，才會慢慢豐富起來，才會形成靈活、巧妙的“活”方法。不同學生在使用列舉法時，因認知水平和經驗基礎不同，其呈現出來的顯性特征也是不同的。作為教師，我們要順著學生的思維，幫助他們構建起隱性思維和顯性思維之間的通道，引導學生通過篩選、調整、提升等過程，將知識內化于心，讓學生的思維真正“活”起來。

1.“笨”排列，“活”篩選

【“雞兔同籠”例1教學片斷A】

出示例1：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？

學生嘗試用列表的方法解決問題，從0開始排，逐一羅列，第1種方法如下所示。

師：仔細觀察，你能發現什么？

生1：從左往右看，雞的數量增加，兔子的數量就會減少；從右往左看，兔子的數量增加，雞的就減少。

生2：每增加1只雞，減少一只兔子，腳的數量就會減少2只。

生3：要使腳的數量減少2，就要把1只兔子換成1只雞。

……

最后，通過逐一列舉，學生得出符合要求的結果是雞有3只，兔子有5只。

方法1列舉了所有的可能情況，能有效避免重復和遺漏的情況。根據這個方法的顯性特征可以分析學生的隱性思維：學生能弄明白雞兔同籠問題，知道雞和兔子數量變化與腿的數量變化之間的關系，思維具有一定的縝密性。但這種方法又不免過于死板，沒有上升到技巧的高度，“活”不起來。教師在肯定方法正確的基礎上，要引導學生進一步優化方法，提升思維層次。

2.“笨”區間，“活”調整

【“雞兔同籠”例1教學片斷B】

師：剛才我們學習了逐一列舉的方法，大家還有沒有其他方法？

（生展示第2種方法：羅列部分，區間調整，如下圖所示）

生1：我是跳著試的。8只兔子有32只腳，于是我減少兔子的數量。我又試了4只兔子和4只雞的情況，此時一共有24只腳，那么再增加1只兔子、減少1只雞，就有26只腳了。

師：這是個好方法。同學們，他一共列舉了幾次？

生2：3次。

師：一定要列3次嗎？

生3：不一定，但一定比第一種方法的少！

方法2，學生在方法1的基礎上，采用區間套的方法進行了部分列舉，體現了它的簡便性和技巧性。不斷調整方向、縮小范圍的過程，體現了學生思維的靈活性和跳躍性。此外，有的學生還對這種方法的使用范圍進行了拓展，如在數據更多的問題中的應用。這時，這種方法將能大大降低問題的難度，簡化解題過程，使學生的思維層次得到提升。

總之，教師只有不斷思考，才能全面、深刻地認識到列舉法在數學教學中的優點及其局限性，進而在教學中真正做到“心中有數”，緊密圍繞“幫助學生學會數學地思考”這個基本目標，通過有序、延時、篩選、調整、提升等活動，為學生構建“笨”與“活”之間的思維通道，把學生的“笨”方法轉變為“活”方法。當然，應用列舉法培養學生的思維能力并不是一蹴而就的，這需要教師不懈努力。處理好“笨”與“活”的關系，才能真正培養學生思維的縝密性和周全性，使學生的思維“活”起來。

（責編 吳美玲）