發現隱形圓

劉志

在電影《哈利·波特》中，只要穿上隱形斗篷，就會消失得無影無蹤.在數學中，有一個圖形就像披上隱形斗篷一樣，很難被發現.當一條線段、三角形或四邊形運動時，其中的某點隨之運動，它的路徑可能形成一個圓（或圓的一部分）.在近兩年各地的中考試卷中，有一些運動變化的好題，在所給的圖形中并沒有畫出圓，但是在思考分析問題中，如果能發現某個點的運動路徑是一個圓，可謂是“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”，將會對問題的解決起到重要作用.

引例.（2015·浙江濱州）如圖，在直角<0的內部有一滑動桿AB.當端點A沿直線AO向下滑動時，端點B會隨之自動地沿直線OB向左滑動.如果滑動桿從圖中AB處滑動到A′B′處，那么滑動桿的中點C所經過的路徑是（ ）

A.直線的一部分 B.圓的一部分

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

【分析】如圖1，根據題意和圖形可知△AOB始終是直角三角形，點C為斜邊上的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知OC始終等于AB的一半，O點為定點，OC為定長，所以它始終是圓的一部分.故選B.

從這個問題可以發現，當一個點在運動變化中，如果始終到一個定點的距離等于定長，那么這個點的軌跡就是一個圓.

一、借助于圓，求兩點之間距離

例1.（2014·山東煙臺）在正方形ABCD中，動點E，F分別從D，C兩點同時出發，以相同的速度在直線DC，CB上移動.

（1）如圖①，當點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關系，并說明理由；

（2）如圖②，當E，F分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（3）如圖③，當E，F分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（4）如圖④，當E，F分別在邊DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.

【分析】（1）AE=DF，AE⊥DF.先證得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性質得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF.

（2）、（3）顯然成立.

（4）由于點P在運動中保持∠APD=90°，因此點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設AD的中點為O，連接OC交弧于點P，此時CP的長度最小.

【略解】前面3個小題省略.

（4）如圖2：

由于點P在運動中保持∠APD=90°，

∴點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，

設AD的中點為O，連接OC交弧于點P，此時CP的長度最小，

在Rt△ODC中，OC= = = ，

∴CP=OC-OP= -1.

【點評】在這個問題中，E、F兩點運動——直線AE、DF運動——直線AE、DF的交點P運動，發現點P的運動路徑是一段圓弧，即點P在點D到O之間的圓弧上運動，根據兩點之間距離最短，連接CQ交圓弧于P，此時CP最小.從中進一步可以發現，如果點P在運動中始終保持∠APB=90°，那么點P的路徑是一段以AB為直徑的圓弧.

二、借助于圓，求點到直線的距離

例2.（2015·廣東梅州）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是AB，AC的中點.若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD E ，設旋轉角為α（0<α≤180°），記直線BD 與CE 的交點為P.

（1）如圖3，當α=90°時，線段BD 的長等于？搖？搖 ？搖？搖，線段CE 的長等于？搖？搖 ？搖？搖（直接填寫結果）.

（2）如圖4，當α=135°時，求證：BD =CE ，且BD ⊥CE .

（3）①設BC的中點為M，則線段PM的長為？搖？搖 ？搖？搖；②點P到AB所在直線的距離的最大值為？搖？搖 ？搖？搖.（直接填寫結果）

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質結合勾股定理分別得出BD 的長和CE 的長.

（2）根據旋轉的性質得出，∠D AB=∠E AC=135°，進而求出△D AB≌△E AC（SAS），即可得出答案.

（3）①直接利用直角三角形的性質得出PM= BC得出答案即可；

②首先作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，則D ，E 在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當BD 所在直線與⊙A相切時，直線BD 與CE 的交點P到直線AB的距離最大，此時四邊形AD PE 是正方形，進而求出PG的長.

【略解】

（3）解：①如圖5，∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中點為M，

∴PM= BC，

即PM= =2 ，

②如圖6，作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，

∵D ，E 在以A為圓心，AD為半徑的圓上，

當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD 與CE 的交點P到直線AB的距離最大，此時四邊形AD PE 是正方形，PD =2，

則BD = =2 ，

故∠ABP=30°，則PB=2+2 ，

故點P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+ .

【點評】其實，在本題中，隱藏著兩個圓，一個是以點A為圓心，AD為半徑的圓，D、E在這個圓上運動；而動點P始終保持∠CPB=90°，所以P在以BC為直徑的圓弧上運動，要使P到直線AB的距離最大，只有BP和⊙A相切.本題還可以進一步思考，如果Rt△ADE旋轉到180°停止，求點P的路徑長.

在數學問題中，雖然動點形成的圓是隱形的，但只要我們具備一雙慧眼，發現定點和定長，該動點到定點的距離等于定長，一定能讓這個隱形圓現身.