淺析高考中常用的數(shù)學(xué)思想

曾潤展

摘 要： 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在掌握思考方法、思維方式.高考中很多題目考查的往往是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.

關(guān)鍵詞： 函數(shù)與方程 數(shù)形結(jié)合 化歸與轉(zhuǎn)化 分類討論

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在掌握思考方法、思維方式.高考中很多題目考查的往往是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.高考作為一種選拔性考試，其題目往往對學(xué)生的數(shù)學(xué)概念、知識遷移能力、思維能力的開放性與連貫性有較高的要求.在其考查中用到的數(shù)學(xué)思想有很多，常用的主要有：函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化，分類討論.下面我僅以部分高考題為例敘述這幾種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

一、函數(shù)與方程的思想

數(shù)學(xué)中利用零點(diǎn)求參數(shù)的范圍的問題，可利用方程，但有時(shí)不易甚至不可能解出，而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩函數(shù)圖像求解，使得問題簡單明了，這體現(xiàn)了不是求零點(diǎn)，而是利用零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或有零點(diǎn)時(shí)，求參數(shù)的范圍，一般用數(shù)形結(jié)合法求解.

例1：設(shè)方程|x -1|=k+1，試討論k取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況.

分析：我們可把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y =|x -1|與y =k+1圖像（圖1）交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)y =k+1表示平行于x軸的所有直線，從圖像可以直觀看出：

①當(dāng)k<-1時(shí)，y 與y 沒有交點(diǎn)，這時(shí)原方程無解；

②當(dāng)k=-1時(shí)，y 與y 有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程有兩個(gè)不同的解；

③當(dāng)-1

④當(dāng)k=0時(shí)，y 與y 有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)；

⑤當(dāng)k>0時(shí)，y 與y 有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè).

二、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)的兩大元素是數(shù)與形，它們彼此關(guān)系緊密，常常結(jié)合在一起，內(nèi)容上互相聯(lián)系，方法上互相滲透，在整個(gè)數(shù)學(xué)中的位置舉足輕重.數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用的廣泛性是大家有目共睹的.舉例如下：

例1.（2010·全國Ⅰ理科·T15）直線y=1與曲線y=x -|x|+a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是？搖？搖？搖？搖.

【命題立意】本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的解法，著重考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

【思路點(diǎn)撥】將函數(shù)y=x -|x|+a中的絕對值符號去掉變成兩個(gè)函數(shù)，然后根據(jù)自變量x的范圍畫出相應(yīng)的圖像，根據(jù)圖像特征確定a的取值范圍.

【規(guī)范解答】如圖2，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線y=1與曲線y=x -|x|+a，觀圖可知，a的取值必須滿足a>1 <1，解得1

【答案】1

三、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

在解決問題的過程中，數(shù)學(xué)家往往不是直接解決原問題，而是對問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸為某個(gè)（些）已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題.把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個(gè)問題，再通過問題的求解，把解得結(jié)果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法.化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常被應(yīng)用，更常常于一些高考題中得到顯示.比較典型的便是換元法，舉例如下：

例3：求y=6x+1+2 的值域.

解：令t= （t≥0）則3x=t +1

所以y=6x+1+2 =2t +2t+3=2（t+ ） +

當(dāng)t=0時(shí)，y有最小值3.

于是y=6x+1+2 的值域?yàn)閇3，+∞）.

還有數(shù)量與圖形的轉(zhuǎn)化，因?yàn)閿?shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形問題的條件是將數(shù)量問題圖形化，圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題的條件是對圖形問題進(jìn)行量化，所以研究數(shù)量問題的圖形化與對圖形問題進(jìn)行量化對提高解題能力是相當(dāng)有必要的.同時(shí)在數(shù)學(xué)解題中若能很好地根據(jù)問題的特點(diǎn)和需要，由數(shù)思形，以形助數(shù)，適時(shí)轉(zhuǎn)化，相互作用，就能使解題思維思路開闊，解題敏捷.

《解析幾何》的基本思想是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合的思想、用代數(shù)的方法解決幾何問題的思想，對稱問題貫穿于整個(gè)《解析幾何》，數(shù)形結(jié)合更是貫穿于《解析幾何》的大多數(shù)題目中.

例4：如圖3，已知橢圓 + =1（a>b>0）過點(diǎn)（1， ），離心率為 ，左、右焦點(diǎn)分別為F ，F(xiàn) .點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF 和PF 與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)直線PF ，PF 的斜率分別為k ，k .

①證明： - =2；

②問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA，OB，OC，OD

的斜率k ，k ，k ，k 滿足k +k +k +k =0？

若存在，則求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)離心率和已知點(diǎn)構(gòu)造含有a，b，c的方程組，可求出橢圓的方程.（2）①方法一：將點(diǎn)P的坐標(biāo)用k ，k 表示出來，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線l：x+y=2進(jìn)行化簡；方法二：設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再將k ，k 用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，并利用點(diǎn)P在直線上進(jìn)行化簡；②利用根與系數(shù)的關(guān)系將k +k 用k 表示出來，將k +k 用k 表示出來，再由k +k +k +k =0可得關(guān)于k ，k 的方程，再聯(lián)立結(jié)論（1）可求出k ，k ，最終可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【規(guī)范解答】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)（1， ），e= ，所以 + =1， = .又a =b +c ，所以a= ，b=1，c=1，故所求橢圓方程為 +y =1.

（2）①方法一：由于F （-1，0），F(xiàn) （1，0），PF ，PF 的斜率分別為k ，k ，且點(diǎn)P不在x軸上，因此k ≠0，k ≠0，k =k .

又直線PF ，PF 的方程分別為y=k （x+1），y=k （x-1），聯(lián)立方程組得

x= y= ，由于在直線上，因此 =2，因此

2k k +3k -k =0， - =2，結(jié)論成立.

四、分類討論的思想

分類討論廣泛存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問題中，如果我們以命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)，就會發(fā)現(xiàn)含參數(shù)的問題可分為兩種類型：一是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后歸納出命題的結(jié)論；二是由給定命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿足的條件（如恒成立問題中求參數(shù)的取值范圍）.

例如：已知函數(shù)f（x）=（x-1） +a（lnx-x+1）（其中a∈R，且a為常數(shù)），

（Ⅰ）若對于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）>0成立，求a的取值范圍；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下若方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍.

【解析】（Ⅰ）由f′（x）=2（x-1）+a（ -1）= 知

當(dāng)a≤2時(shí)，∵f′（x）>0對于x∈（1，+∞）恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴f（x）>f（1）=0，此時(shí)命題成立.

當(dāng)a>2時(shí)，∵f（x）在（1， ）上單調(diào)遞減，在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈（1， ）時(shí)，有f（x）

故a的取值范圍是（-∞，2]

（Ⅱ）依題意a∈（-∞，2]，設(shè)g（x）=f（x）+a+1，原題即為若g（x）在（0，2]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.顯然函數(shù)g（x）與f（x）的單調(diào)性是一致的.

①當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上遞減，（1，2]上遞增，所以g（x）在（0，2]上的最小值為g（1）=a+1，

由于g（ ）=（ -1） - +1>0，要使g（x）在（0，2]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，需滿足g（1）=0或g（2）<0，解得a=-1或a<- .

②當(dāng)a=2時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，且g（e ）= -2<0，g（2）=2+ln2>0，所以此時(shí)g（x）在（0，2]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)a

又因?yàn)間（1）=a+1>0，所以當(dāng)x∈（ ，2]時(shí)，總有g(shù)（x）>0，

∵e <1

所以g（x）在（0， ）上必有零點(diǎn)，又因?yàn)間（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，從而當(dāng)0

綜上所述，當(dāng)0

總之，在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法.函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化，分類討論都是邏輯方法，也是重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.各種思想在解題中的應(yīng)用絕不是孤立的，而是相互滲透的.往往一道題用到的數(shù)學(xué)思想不是唯一的，而是各種思想相互結(jié)合的結(jié)果.

參考文獻(xiàn)：

[1]任志鴻，主編.《贏在高考》.高考總復(fù)習(xí)一輪用書，2015.