關于經管類微積分教學中無窮小量與無窮大量的探討

孫祥凱,張付臣

(重慶工商大學　數學與統計學院，重慶　400067)

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關于經管類微積分教學中無窮小量與無窮大量的探討

孫祥凱,張付臣

(重慶工商大學數學與統計學院，重慶400067)

[摘要]文章借助反例進一步講解了經管類微積分課程教學中無窮小量、無窮大量以及無界變量之間的關系和性質。教學實踐證明，在微積分教學中恰當地使用反例，能夠幫助學生加強對相關知識點的理解。

[關鍵詞]無窮小量；無窮大量；無界變量；教學改革

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.02.155

1引言

微積分課程是經濟管理類專業本科生的專業基礎課。而無窮小量與無窮大量又是微積分課程中的兩類非常重要的概念。[1-3]因此，經濟管理類專業本科生如果能夠靈活運用無窮小量以及無窮大量的相關性質以及它們之間的關系，對后續一元函數和數列的極限計算，一元函數的連續性，導數以及可微性的證明和求解都會有很大幫助。

筆者近些年對經濟管理類專業本科生的教學實踐發現，許多教材在對無窮小量以及無窮大量的講解中，僅僅對無窮小量的各種性質進行展開討論，而關于無窮大量的性質卻一筆帶過，如李霄民與夏莉等出版的《微積分》上冊。[1]不僅如此，筆者發現許多教材在講解無窮小量以及無窮大量之間的關系與性質時，特別是關于無窮大量的性質，不僅沒有適當的證明，而且也沒有足夠的反例來解釋相關問題。因此許多文獻補充了相關性質，并列舉了適當的反例。然而，筆者發現許多反例晦澀難懂，不利于像文科類學生居多的工商類院校學生的理解。

基于上述問題，筆者將通過中學中一些常見的簡單易懂的例子出發，對無窮小量以及無窮大量的學習中易產生誤解的性質與關系進行了總結和歸納，進一步認識二者之間的關系和性質，解決學生學習中的迷茫和疑惑,從而激發學生學習微積分課程的興趣。[4]

2無窮小量與無窮大量的性質反例

本文首先回顧微積分的教材中關于無窮小量的如下三個性質。[1,2]

性質1：有限個無窮小量的和與差仍為無窮小量。

性質2：有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量。

性質3：有界變量與無窮小量的乘積仍為無窮小量。

教材中對上述幾個性質有許多例子進行解釋。然而如果把上述性質1和性質3中無窮小量換為無窮大量一定成立嗎？回答是否定的。下面通過幾個中學中常用的函數構造反例進行解釋。這樣不僅簡單易懂，而且學生更容易接受。

命題1：有限個無窮大量的和與差不一定是無窮大量。

命題2：有界變量與無窮大量的乘積不一定為無窮大量。

總結：在數學的學習中，要學會用最簡單的函數構造反例，解決相關問題，從而達到融會貫通的效果。

3無窮大量與無界變量的比較反例

在講解無窮大量與無界變量之間的關系前，我們首先強調下關于無窮大量的幾點注意事項。

注意1：需要強調的是無窮大量指的是絕對值無限增大的變量。此處與中學的有些區別。很多同學總是認為只有最終趨近正無窮的變量才是無窮大量。而最終趨近負無窮的變量則是無窮小量。這種理解顯然是沒有搞清楚無窮小量和無窮大量的定義。

注意2：無窮大量是一個變量，不可與絕對值很大很大的數混為一談。同樣，我們也不能認為無窮小量為很小很小的數。

在理解了無窮大量的定義后，我們對無窮大量與無界變量之間的關系進行再總結歸納，并給出幾個例子進行分析。

(1)無窮大量是無界變量。

(2)無界變量不一定是無窮大量。

總結：正確理解無窮大量與無界變量之間的關系，不僅為以后學習其他知識做好鋪墊，而且對培養數學思維也有著一定作用。

4無窮小量的等價代換方法求極限的應用誤區

正確地利用無窮小量的等價代換方法求解某些函數的極限，不僅簡化計算步驟，而且可以取得事半功倍的結果。然而筆者發現，自從講解了無窮小量的等價代換方法后，許多學生沒看清楚無窮小量的等價代換方法適用范圍，就不假思索地借助該方法求解，從而導致許多計算結果的失誤和錯誤。所以正確靈活運用無窮小量的等價代換方法就顯得極為重要。筆者通過以下注意事項以及幾個實例和反例將對該問題進一步的總結和闡述。

注意1：在利用無窮小量的等價代換方法求極限時首先要看清自變量的趨近過程。只有無窮小量時才可以考慮等價代換方法。如果不是無窮小量，則不能借助等價代換方法求極限。

分析：很多同學會不假思索地借助等價代換方法去求解，即

因為sinx等價于x，sin2x等價于2x，所以

顯然，上述求解方法是錯誤的。錯誤之處在于，忽略自變量的趨近過程，機械套用等價代換方法。我們在前面強調過只有是無窮小量時，才可以考慮借助等價代換法。

為讓讀者有個更加清晰的認識，下面給出一個可以借助無窮小量的等價代換方法求極限的例子。

分析：當x→0時，函數e2x-1和arcsin3x均為無窮小量。因此可以借助無窮小量的等價代換方法求解。

解：因為當x→0時，e2x-1等價于2x，arcsin3x等價于3x，所以

注意2：在微積分教材中，曾強調過利用等價無窮小量代換求極限時，只能用于乘除，對于加減運算的無窮小量不能隨意代換。

注意：這里說的是不能隨意代換，也就是有些可以，有些不可以。許多文獻對此都有很多解釋，并給出了各種命題來說明等價代換所適用的范圍條件等。但是這些定理如果直接拿來給經管類本科生解釋，不僅不能消除他們的困惑，而且容易使他們對微積分的學習產生厭倦心理。

近些年來，筆者在給經管類本科生講解微積分課程時發現，單獨的理論講解以及定理推導不適合工商類院校本科生。當代大學生更傾向于實例分析，即用實例來解釋晦澀難懂的數學定理命題等。因此筆者將借助一個簡單例子來分析上述問題。

分析：很多同學會直接這樣求解：當x→0時，函數tanx-sinx和2x3均為無窮小量。又知當x→0時tanx與sinx均等價于x。所以

顯然上述求解方法是錯誤的。正確的求解釋方法是先將加減轉化為乘除再進行代換。雖然教材中已有很多這種例子，但為讀者方便我們仍然寫出詳細過程。

正解：首先將加減轉化為乘除，即

綜上所述，無窮小量的等價代換方法是計算極限問題的一種行之有效的方法。但使用過程中要注意教材所說對于加減不能隨便利用。因此若使用不當，將會適得其反。所以我們在利用無窮小量的等價代換方法時，如果遇到含有加減的無窮小量時，盡量不要直接代換，以免導致錯誤。

5結論

無窮小量和無窮大量在大學數學的相關問題求解中有著舉足輕重的地位和作用。因此，在學習這兩個概念時一定要把握好細節問題，要知其所以然，從而理解它們的深刻內涵。本文對經管類微積分課程中無窮小量、無窮大量以及無界變量之間的性質和誤區進行了總結和歸納，消除了學習中可能遇到的誤區，從而達到預期的學習效果。

參考文獻：

[1]李霄民，夏莉等.微積分(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]華東師范大學教學系.數學分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3]張謀，魏曙光,無窮大量的性質與應用[J].高等數學研究,2013(16)：5.

[4]伏紅勇.工商管理類本科生經濟數學應用能力培養的教學研究[J].中國市場，2014(25).

[作者簡介]孫祥凱 (1984—)，男，漢族，山東青州人，博士后，副教授。研究方向：最優化方法、數學教學方法。