從一道例題說起函數問題

楊婷+王志

本題選自滬教版初中數學八年級第二學期第二十章一次函數內容中《一次函數的圖像》第三課時中的一道例題.

例6.已知函數y=2/3x+1.（滬教版數學八年級第二學期P10）

（1）當x取何值時，函數值y=5？

（2）當x取何值時，函數值y>5？

（3）在平面直角坐標系xOy中，在直線y=2/3x+1上且位于x軸下方的所有點，它們的橫坐標的取值范圍是什么？

下面筆者從三個角度進行關注：

1.以學定教，把握更精準的例題目標

《中小學數學課程標準》中所提出的數學課程目標，是指各學段終結時的目標；在教學過程中，還要確定每個教學階段的具體目標，直至每節課的學習目標，由此構成形成性的學習目標.我們再將每節課的教學目標細化到每道題的教學目標，評價先行，以學定教.

從整個初中數學的學習體系來看本例題所涉及的知識點，其在不同層面的目標分別是：

《課標》目標：建立一次函數、二元一次方程、直線之間的聯系.

單元目標：能借助一次函數的圖像認識一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，理解一元一次方程、一元一次不等式與一次函數之間的內在聯系.

課時目標：知道一元一次方程、一元一次不等式與一次函數之間的聯系，能以函數的觀點認識一元一次方程的解與一元一次不等式的解集；通過研究一元一次方程、一元一次不等式與一次函數之間的聯系，體會數形結合的數學思想，初步領略用函數知識分析問題的方法.

通過研讀目標，我們將這道例題的目標和功能進一步細化：

A層目標：

（1）會從代數的角度思考問題，用式的代換和運算解決；

（2）通過觀察函數圖像、求方程的解和不等式的解集，體會一元一次方程、一元一次不等式與一次函數的聯系；

（3）會用圖像法解一元一次不等式；

（4）能利用一次函數與一元一次不等式的內在關系，解決實際問題.

B層目標：

（1）會從代數的角度思考問題，用式的代換和運算解決（達標率100%）；

（2）通過觀察函數圖像、求方程的解和不等式的解集，體會一元一次方程、一元一次不等式與一次函數的聯系（達標率75%以上）；

（3）會用圖像法解一元一次不等式（達標率75%以上）.

2.因材施教，深入更嚴謹的教材教學

本節課的知識要點是新教材中后添加的內容，不僅是應試的重點考察對象，而且是幫助學生進一步感受數形結合的數學思想重要途徑之一.本節課也是在學生已有對一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組等的認識之后，從變化和對應關系的角度，對一元一次不等式的運算進行更深入的討論，是站在更高起點上的動態分析.通過討論一次函數與方程（組）及不等式的關系，用函數的觀點加深對這些已經學習過的內容的認識，加強知識間的橫向和縱向聯系，發揮函數的統領作用，構建和發展相互聯系的知識體系.

于是，我們備課組設計一道檢測拓展：

已知一次函數y=k1x+b1和y=k2x+b2的圖像分別是直線l1和l2，根據圖像填空：

（1）方程k1x+b1=0的根是______________；

不等式k1x+b1<0的解集是______________.

（2）不等式k2x+b2>0的解集是______________；

方程k2x+b2=-2的根是______________.

這道檢測題目的設計源于拓展依據的綜合處理，檢測題目的難度要求要高于例6，它可以從數和形兩方面進行檢測對代數方法和圖像直觀法的理解.

3.以學促教，理解更貼切的實際學情

例6是在一次函數與一元一次方程的基礎上展開的，學生理解了一次函數與一元一次方程的關系，進一步體會數形結合的基本思想，并初步有了用函數的觀點考查教學問題、解決教學問題的思想.函數、方程、不等式都是刻畫現實世界中量與量之間變化規律的重要模型.本節的目的就是通過具體例子滲透三者之間的內在聯系，幫助學生從整體上認識不等式，感受函數、方程、不等式的作用.在教學過程中注意引導學生初步體會從整體中把握部分的思維方法，滲透函數、方程、不等式思想和數形結合等重要的數學思想，拓寬學生視野，相信學生并為學生提供充分展示自己的機會.

回歸本源，張奠宙教授早就提出“教什么永遠比怎么教重要”.數學教育面臨兩大問題：

（1）教什么——教學內容

（2）怎么教——教學方法

內容和方法是緊密聯系的，只有肯定了“教什么”，才能研究“怎么教”的問題.這也恰恰就是把握教學目標.尊重教材，真正領會編者的意圖.我們的教學目標如果重形式輕實質，那么教什么就失去了方向.一節課的生命力依賴于《課標》的正確解讀、對教材的深刻把握和對內容的深刻理解，然后我們才可以按照自己的理解，更深入地理解教學、理解學生、根據實際整合教材，做到更貼切學生實際，這才是本質，才是數學教學原汁原味的本色.