矩陣的秩在線性代數中的應用及其實踐教學方法的探究

趙偉

摘 要： 伴隨當今科學技術的持續發展，數學與經濟學理論的聯系越發緊密，特別是當今計算機技術的不斷運用，促使線性代數于人們日常社會實踐中所扮演的角色越發重要.為了對線性方程組進行研究，便隨之產生了矩陣這一重要概念.矩陣的秩在整個線性代數中扮演著突出角色.本文通過分析矩陣的秩應用于線性代數，對此知識點相應教學方法予以探討.

關鍵詞： 線性代數 矩陣的秩 應用 教學方法

1.矩陣的秩等價描述

定義1：假設矩陣A中存在一個并非為0的r階子式D，且全部r+1階子式均等于0，則將D稱為矩陣A相應最高階非零子式，而數r則被稱作矩陣A的秩，將其記為R（A）.且劃定零矩陣的秩則等于0.從中可知，矩陣A的秩R（A）乃是A中一個并非為0的子式相應最高階數.對于矩陣秩相應刻畫而言，其具有較多方式，以下所設定的命題1乃是與矩陣秩相應等價描述存在相關性的一組結論.

命題1：假設A乃為m×n矩陣，則可得出如下結論為等價：

（1）R（A）=r；（2）A的行向量組的秩=r；（3）A的列向量組的秩=r；（4）A的行空間維數=r；（5）A的列空間維數=r；（6）n的元齊次線性方程組（AX=0）相應解空間維數=n-r.

2.矩陣的秩于求解線性方程組中的應用

如下定理1則將線性方程組解相應判定和矩陣秩相應關系給予了建立，將線性方程組解相應判定問題，向增廣矩陣秩及系數矩陣計算方面予以轉化，且就增廣矩陣和系數矩陣的秩是否存在相等的問題進行判斷，從而大大簡化線性方程組解相應判定及求解.

定理1：n元線性方程組Ax=b

（1）R（A）

矩陣、向量組的線性相關性及線性方程組乃是線性代數中基礎而又重要的內容，彼此之間關系緊密，矩陣乃是對線性代數各種問題進行研究的重要載體，矩陣的秩則是對問題進行研究的相應試金石.矩陣的秩在線性代數中具有突出作用，然而有關矩陣的秩相應教學則存在較大難度，其原因主要有以下幾點：首先，矩陣的秩相應知識在所使用的教材中往往較分散，且和其他相應知識點之間往往形成一定的復雜關系；其次，矩陣的秩和向量空間的維數及向量組的秩，則在本質層級上較類似，致使學生對這些內容較混淆；最后，運用矩陣的秩對向量組相應線性相關性進行判別，則其與齊次線性方程組AX=0非0是否存在緊密關系.至此，可從以下方面入手：

首先，將矩陣的秩相應概念本質進行充分挖掘，即矩陣A的秩R（A）實質為非零子式相應最高階數；其次，當將線性方程組相應通解的知識進行講解時，則可抓住問題的本質，促使學生更好且更細致地掌握線性方程組的解的相關知識；最后，在具體教學時，將向量組相應線性相關性予以講透徹，還應講清矩陣的秩與齊次線性方程組AX=0解之間所存在的相應關系，并通過例題進行強化教學.

例2：求解如下非齊次線性方程組：

4.結語

矩陣的秩應用于線性代數中，不僅對于線性代數相應學習具有重要的指導作用，還可讓學生更好地認識矩陣的秩，并可認知矩陣理論在整個線性代數中的重要作用，對于矩陣而言，其諸多思想及方法，可對線性代數理論予以較大豐富.因此，學生善于運用矩陣的秩，就線性代數相應問題給予解決，乃是將線性代數學好的重要基礎.

參考文獻：

[1]張麗麗.初等變換求矩陣的秩在線性代數中的應用[J].科教文匯旬刊，2014（1）：57-57.

[2]巴桑卓瑪.探討矩陣的秩在線性代數中的應用[J].西藏大學學報：自然科學版，2010，25（2）：104-107.