矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用及其實(shí)踐教學(xué)方法的探究

趙偉

摘 要： 伴隨當(dāng)今科學(xué)技術(shù)的持續(xù)發(fā)展，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的聯(lián)系越發(fā)緊密，特別是當(dāng)今計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷運(yùn)用，促使線性代數(shù)于人們?nèi)粘Ｉ鐣?huì)實(shí)踐中所扮演的角色越發(fā)重要.為了對(duì)線性方程組進(jìn)行研究，便隨之產(chǎn)生了矩陣這一重要概念.矩陣的秩在整個(gè)線性代數(shù)中扮演著突出角色.本文通過分析矩陣的秩應(yīng)用于線性代數(shù)，對(duì)此知識(shí)點(diǎn)相應(yīng)教學(xué)方法予以探討.

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 矩陣的秩 應(yīng)用 教學(xué)方法

1.矩陣的秩等價(jià)描述

定義1：假設(shè)矩陣A中存在一個(gè)并非為0的r階子式D，且全部r+1階子式均等于0，則將D稱為矩陣A相應(yīng)最高階非零子式，而數(shù)r則被稱作矩陣A的秩，將其記為R（A）.且劃定零矩陣的秩則等于0.從中可知，矩陣A的秩R（A）乃是A中一個(gè)并非為0的子式相應(yīng)最高階數(shù).對(duì)于矩陣秩相應(yīng)刻畫而言，其具有較多方式，以下所設(shè)定的命題1乃是與矩陣秩相應(yīng)等價(jià)描述存在相關(guān)性的一組結(jié)論.

命題1：假設(shè)A乃為m×n矩陣，則可得出如下結(jié)論為等價(jià)：

（1）R（A）=r；（2）A的行向量組的秩=r；（3）A的列向量組的秩=r；（4）A的行空間維數(shù)=r；（5）A的列空間維數(shù)=r；（6）n的元齊次線性方程組（AX=0）相應(yīng)解空間維數(shù)=n-r.

2.矩陣的秩于求解線性方程組中的應(yīng)用

如下定理1則將線性方程組解相應(yīng)判定和矩陣秩相應(yīng)關(guān)系給予了建立，將線性方程組解相應(yīng)判定問題，向增廣矩陣秩及系數(shù)矩陣計(jì)算方面予以轉(zhuǎn)化，且就增廣矩陣和系數(shù)矩陣的秩是否存在相等的問題進(jìn)行判斷，從而大大簡化線性方程組解相應(yīng)判定及求解.

定理1：n元線性方程組Ax=b

（1）R（A）

矩陣、向量組的線性相關(guān)性及線性方程組乃是線性代數(shù)中基礎(chǔ)而又重要的內(nèi)容，彼此之間關(guān)系緊密，矩陣乃是對(duì)線性代數(shù)各種問題進(jìn)行研究的重要載體，矩陣的秩則是對(duì)問題進(jìn)行研究的相應(yīng)試金石.矩陣的秩在線性代數(shù)中具有突出作用，然而有關(guān)矩陣的秩相應(yīng)教學(xué)則存在較大難度，其原因主要有以下幾點(diǎn)：首先，矩陣的秩相應(yīng)知識(shí)在所使用的教材中往往較分散，且和其他相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)之間往往形成一定的復(fù)雜關(guān)系；其次，矩陣的秩和向量空間的維數(shù)及向量組的秩，則在本質(zhì)層級(jí)上較類似，致使學(xué)生對(duì)這些內(nèi)容較混淆；最后，運(yùn)用矩陣的秩對(duì)向量組相應(yīng)線性相關(guān)性進(jìn)行判別，則其與齊次線性方程組AX=0非0是否存在緊密關(guān)系.至此，可從以下方面入手：

首先，將矩陣的秩相應(yīng)概念本質(zhì)進(jìn)行充分挖掘，即矩陣A的秩R（A）實(shí)質(zhì)為非零子式相應(yīng)最高階數(shù)；其次，當(dāng)將線性方程組相應(yīng)通解的知識(shí)進(jìn)行講解時(shí)，則可抓住問題的本質(zhì)，促使學(xué)生更好且更細(xì)致地掌握線性方程組的解的相關(guān)知識(shí)；最后，在具體教學(xué)時(shí)，將向量組相應(yīng)線性相關(guān)性予以講透徹，還應(yīng)講清矩陣的秩與齊次線性方程組AX=0解之間所存在的相應(yīng)關(guān)系，并通過例題進(jìn)行強(qiáng)化教學(xué).

例2：求解如下非齊次線性方程組：

4.結(jié)語

矩陣的秩應(yīng)用于線性代數(shù)中，不僅對(duì)于線性代數(shù)相應(yīng)學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)作用，還可讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)矩陣的秩，并可認(rèn)知矩陣?yán)碚撛谡麄€(gè)線性代數(shù)中的重要作用，對(duì)于矩陣而言，其諸多思想及方法，可對(duì)線性代數(shù)理論予以較大豐富.因此，學(xué)生善于運(yùn)用矩陣的秩，就線性代數(shù)相應(yīng)問題給予解決，乃是將線性代數(shù)學(xué)好的重要基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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