基于BOPPPS模型下的高等數學微課教學設計
——以“一階非齊次線性微分方程的解法”為例

儲亞偉，葉薇薇，王海坤

（阜陽師范學院數學與統計學院，安徽 阜陽236037）

基于BOPPPS模型下的高等數學微課教學設計
——以“一階非齊次線性微分方程的解法”為例

儲亞偉，葉薇薇，王海坤

（阜陽師范學院數學與統計學院，安徽 阜陽236037）

BOPPPS模型是優秀的微課教學模型，是加拿大、臺灣及國內高校教師技能培訓中廣泛采用的教學模式。同時，全國高校數學微課程教學設計競賽的成功開展加快了傳統課堂教學改革的步伐。為了有效地將數學微課程競賽的先進理念及成果應用于課堂教學，不斷深化教學改革、提高教學質量，文章以《高等數學》中“一階非齊次線性微分方程的解法”為例，探討基于BOPPPS模型的高等數學微課程教學設計的方法。設計理念是：將數學思想方法融入課堂教學；以學生為中心、以問題為導向的探究式教學；注重知識的認知過程，強調從已知到未知的自然過渡的互動式教學。

BOPPPS模型；高等數學；微課程；教學設計；特色

高等數學在高校課程中的重要性不言而喻，其教學效果的優劣將直接影響到高校的人才培養質量。隨著“互聯網+”及“慕課時代”的到來，高校傳統課堂教學改革的力度也逐漸加大。在超星視頻、愛課程、中國大學MOOC等不同形式在線課程平臺推出的同時，由教育部高校大學數學課程教學指導委員會、全國高校教學研究中心、高校大學數學教學研究與發展中心共同主辦的全國高校數學微課程教學設計競賽的成功舉辦，為高校開展“微課程”教學搭建了學習與展示的平臺，并將有力推動大學數學“微課程模式”的教學改革。為了將數學微課程競賽的先進理念及優秀成果有效地應用到課堂教學，切實推動教育教學改革、提高教學質量，文章以《高等數學》[1]中“一階非齊次線性微分方程的解法”的微課程設計（首屆全國微課程教學設計大賽一等獎作品[2]）為例，結合作者對BOPPPS教學工作的實踐，探討基于BOPPPS模式的高等數學微課程教學設計的方法。

一、BOPPPS模型概述

BOPPPS模型是加拿大教師技能培訓中廣泛采用的教學模式[3]，是一個能夠協助教師拆解并分析教學過程、發現教學盲點、提升教學成效的有效工具。根據學生專注力的持續時間（大約15分鐘），該模型將教學內容拆分為獨立的小單元 （不超過15分鐘），每個教學小單元內都以達成教學目標為核心，構建了引言(Bridge-in)、教學目標(Objective/ Outcome)、前側(Pre-assessment)、參與式互動教學(Participatory Learning)、后測 (Post-assessment)和總結 (Summary)等確保課堂成功的六大要素。按照BOPPPS模型的要求，一節45分鐘的內容可以拆分為完整的三個單元，每個獨立的單元從引言到總結一個完整的“起承轉合”恰好構成一節微課。該模式為有效課堂教學提供了一個可操作的具體實踐流程，使得課堂教學的安排更加條理化、合理化，也是進行微課程教學設計的有效工具[4]。

二、BOPPPS模型下高等數學微課設計理念——以“一階非齊次線性微分方程的解法”為例

按照BOPPPS模型的要求，要進行高等數學課程的微課設計，需要先把該課程切割成獨立的小單元。目前，高等數學課程已經形成了以知識點為單元的獨立小單元模塊[5-6]，這為該課程的微課設計搭建了良好平臺。為了實現有效教學，切實提高教學效果，我們的微課設計理念是：要在課堂教學中融入數學思想和方法的教學；強調以學生為中心、以問題為導向的探究式教學；注重知識的認知過程，強調從已知到未知的自然過渡和巧妙銜接的互動式教學。

以“一階線性非齊次微分方程的解法”為例，在學習本小單元之前，學生已了解了一階線性微分方程的概念，掌握了一階線性齊次微分方程的解法。學完本節內容，不但完整地掌握了一階線性微分方程的解法，也為下一節（Bernoulli方程）的學習奠定了基礎。同時，一階線性非齊次微分方程的解法與通解的結構可以推廣至高階的情形，因此這節課不但有承前啟后的作用，也是學習Bernoulli方程及高階線性方程的基礎，是本章和本節的重點內容之一。然而，本節要介紹的“常數變易法”的引入太突兀，且沒有介紹一階線性微分方程通解的結構，既不利于學生對“常數變易法”的理解與接受，也不利于高階線性微分方程的學習。

另一方面，在教學中突出數學思想、問題式學習、探究式學習等是教學改革中著力倡導的新型學習方式。結合大綱的要求，在設計本課時，希望通過問題激發學習興趣，透過探究對比自然引出重要方法——常數變易法，通過細心觀察總結一般規律——非齊次線性微分方程通解的結構，在問題解決及實例中多次強調轉化、化歸的數學思想，同時利用多媒體輔助教學，破重點、化難點。

三、基于BOPPPS模型下“一階非齊次線性微分方程的解法”的教學設計：

（一）(Bridge-in)——問題導入

以學生已掌握的兩個知識點為抓手，先從第一個知識點引出問題：一階非齊次線性微分方程的一般形式

若Q（x）≡0，稱（1）為齊次的；若Q（x）≠0，稱（1）為非齊次的。由已知齊次方程的解法引出核心問題：非齊次方程（1）的解法。

（二）教學目標(Objective/Outcome)——PPT展示

1.知識能力目標

理解“常數變易法”的由來，掌握解非齊次方程（1）的常數變易法的步驟；理解方程（1）通解的結構；較為熟練地運用常數變易法及通解公式求解非齊次線性微分方程。

2.思想方法目標

通過分類求解一階線性微分方程，培養學生的分類討論與化歸與轉化思想；通過探究非齊次方程通解可能具有的形式，引導學生進行探究性學習。

（三）前側(Pre-assessment)——提問并板書

提問：方程（1）對應齊次微分方程的通解？

通過類比，引出本節課內容。

（四）參與式互動教學(Participatory Learning)——特色設計

1．常數變易法

為重現知識的認知過程，做好從已知到未知的自然過渡和有效銜接，本段從學生熟知的分離變量法及方程（1）對應齊次方程的通解入手，采取問題導向的互動式、參與式的探究教學模式。

這樣，我們便共同探索出方程（1）通解的形式，這是講解常數變易法的關鍵[7-8]。類比對應齊次微分方程的通解形式（2），自然地得到常數變易法，其本質是未知函數的變量代換。

2．通解公式

其中，C為任意常數。

3．通解結構

通過發問，請同學根據通解公式（5）總結出方程（1）的通解結構：

非齊次線性微分方程的通解等于對應齊次方程的通解加上非齊次方程的一個特解。

（五）后測(Post-assessment)——課堂練習

例1 使用常數變易法求方程

例2 使用通解公式求方程（y2－4x）dy＝2ydx的通解。

（六）總結(Summary)——強調思想、拓展方法

利用ppt動態展示，并強調化歸思想，拓展方程（1）的解法：

四、應用反思

上例從問題的引入、方程通解形式探究，到通解結構的總結與解法拓展，結合了問題式、探究式的學習方法進行講授，使得常數變易法得以自然引出，順利地克服了難點。拓展部分結合論文的成果，補充了兩種解法，利于開拓學生的視野。

在高等數學的教學過程中，教師完全可以以知識點為獨立模塊，按照BOPPPS教學模型精心設計每一個知識點的單元微課，再把各知識點連接起來，真正做到以學生為中心、以問題為導向、以有效實現教學目標為核心，在課堂教學中融入數學思想方法、在新知講授前搭建過渡橋梁，有效克服難點、突出重點，充分利用微課程資源（PPT、微視頻等），實現有效課堂教學。

[1]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M]7版.北京：高等教育出版社，2014:314-315.

[2]首屆（2015）全國高校數學微課程教學設計競賽[EB/ OL]．[2015-10-30]．http://www.icourses.cn/zlgc/wkc/weike. html.

[3]曹丹平,印興耀.加拿大BOPPPS教學模式及其對高等教育改革的啟示[J].實驗室研究與探索,2016,35(2)：196-201.

[4]丁軒,徐莉.基于BOPPPS教學模型的腫瘤科臨床帶教微課程體系建設及應用[J].中國護理管理,2016(5)：659-662.

[5]高等數學 (上)知識點細分目錄 [EB/OL]．[2015-12-30]．http:// wenku.baidu.com/link url=BOFcJt9rLu_M8GiQFy7VQPsx1Y8UQQ-fUDy33lYN1gSezuXapxmYAaw4swgyGggsyTaj81XfCTf5OVy9 -AE5h6jqfZEhJAIsDvjwkoqb2HfG.

[6]高等數學(下)知識點細分目錄[EB/OL]．[2015-07-24]．http://wenku.baidu. com/linkurl=Jf2Er7rMnbl3uMpCZu7cYnI8S2L2Ip8GMzSVGXNHgPRtq _JDP-cYw1ONpuAFU4Mup9dx9Oi5DDBZFVmghSsHFsDXbjmSjvWdF6Uu_v_clBQa.

[7]楊芳.關于常數變易法的教學探討[J].高師理科學刊, 2010,30(2):92-95.

[8]鮮大權.一階線性常微分方程解法及教學[J].高等數學研究,2007,10(3):12-14.

編輯：崔月華

Microlecture teaching design of higher mathematics based on the BOPPPS teaching model——with the example of“the first order non-homogeneous linear differential equation”

CHU Yawei，YE Weiwei，WANG Haikun
（School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui 236037）

The teaching model of BOPPPS,which is widely used for improving the teaching abilities in Canadian,Taiwanese and domestic universities is excellent.Meanwhile,the success of the first microlecture teaching design competition for university mathematics in universities and colleges in China is quickening the steps on traditional classroom teaching models.In order to apply the advanced ideas and excellent achievements of this competition to classroom,to constantly deepen reformation of teaching and improve teaching quality,in this paper we explore a method for microlecture teaching design of higher mathematics based on the BOPPPS teaching model,with the example of “the first order non-homogeneous linear differential equation”.Our design idea includes merging mathematics thought and method into class teaching,the teaching method of inquiry of student-centered and problem-oriented,employing the interactive teaching methods,which focuses on the cognitive process of knowledge and the natural transitionfrom known to unknown.

BOPPPS teaching model;higher mathematics;microlecture;teaching design;feature

G623

：A

：2095-7327（2016）-09-0153-04

儲亞偉（1977-），男，安徽阜陽人，阜陽師范學院副教授，博士，研究方向：幾何分析。

安徽省教學團隊項目“大學數學課程教學團隊”（編號：2015jxtd121）；安徽省專業綜合改革試點項目“數學與應用數學”（師范類）（編號：2014zy138）；安徽省重點教研項目 “創新人才培養模式下微分幾何學的教改與實踐”（編號：2013jyxm553）。