初中二次函數典型題的解題技巧

廖青馨

摘 要：二次函數是初中數學的重要內容，也往往是學生覺得難度最大的知識。二次函數知識點多，綜合能力要求高，是中考中的重點考查對象，即使在高中數學中，二次函數仍有重要地位，因此學好二次函數是很有必要的。現將二次函數的典型題型列出，希望能幫助同學們更好的學習二次函數。

關鍵詞：初中 二次函數 典型題 解題技巧

一、由二次函數的定義求字母的值或取值范圍

例1、已知函數y=（a2-2a-3）x2+（a2-9）x-3（其中a為常數）（1）當a滿足什么條件時，此函數是二次函數？（2）當a滿足什么條件時，此函數為一次函數？

解析：（1）函數為二次函數，則其二次項系數不為0，即a2-2a-3≠0 ，解得： a≠-1且a≠3

（2）函數為一次函數，則其二次項系數為0，且一次項系數不為0，即 ，解得 ，故a=-1

二、二次函數性質的應用

例2、若二次函數y=ax2+bx-4的圖像開口向下，與x軸的交點為（-4，0），（2，0），點A（-3，y1）、點B（2，y2） 均在此拋物線線上，則y1與y2的大小關系是（ ）

A、y1y2 D、不確定

解析：因拋物線與x軸的交點為（-4，0），（2，0），則對稱軸為，故點A（-3，y1）的對稱點為（1，y1），又拋物線開口向下，故當x>-1時，y隨x的增大而減小，因1<2，則y1>y2，選C。

三、由二次函數的圖像確定系數的符號和關系

例3、如圖二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，給出以下幾個結論，（1）a>0（2）c>0（3）b<0

（4）b2-4abc<0（5）a+b+c=0 （6） a-b+c<0

其中正確的有______.

解析：（1）函數圖像的開口方向由a的正負號決定，當a>0時，開口向上，當a<0時，開口向下，本圖拋物線開口向上，故a>0；（2）函數圖像與y軸的交點為（0，c），若交點在y軸的正半軸，則c>0，若交點在y軸的負半軸，則c<0，本圖交點在負半軸，故c<0；（3）函數圖像的對稱軸為x=，若對稱軸在y軸的左側，則<0，若對稱軸在y軸的右側，則>0，本圖中對稱軸在y軸的右側，又有a>0，故b<0；（4）函數圖像與x軸的交點個數與b2-4ac的正負號直接相關，當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點，當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點，當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點，本圖中拋物線與x軸有兩個交點，故b2-4ac>0；（5）圖像經過（1，0），故a+b+c=0（6）由圖像可知，當x=-1時，函數值y為正，故a-b+c>0，正確的有：（1）（3）（5）

四、二次函數的平移問題

二次函數的開口方向和大小都由a決定，故函數y=ax2與y=a（x-h）2+k形狀相同，只是位置不同，可通過平移得到。當h>0時，向右平移|h|個單位，當h<0時，向左平移|h|個單位；當k>0時，向上平移|k|個單位，當k<0時，向下平移|k|個單位。h是左右平移，k是上下平移，簡單說“左加右減，上加下減”。

例4、若將拋物線y=-2x2-4x+1先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，經過兩次平移后拋物線的頂點坐標為______.

解析：現將拋物線由一般式改寫為頂點式y=-2x2-4x+1=-2（x+1）2+3，先向右平移2個單位，得到y=-2（x-1）2，再向上平移3個單位得到y=-2（x-1）2+6，故物線的頂點坐標為（1，6）。本題還可直接觀察頂點的平移，原頂點為（-1，3），向右平移2個單位，得到（1，3），再向上平移3個單位，得到（1，6）。

五、二次函數與一次函數圖像的綜合判斷

例5、在同一直角坐標系中，函數y=mx+2m和y=-mx2+x+2（m是常數，且m≠0）的圖象可能是（ ）

解析：當m>0，一次函數過一、三象限，又2m>0，向上移，過一、二、三象限，-m<0，二次函數開口向下，又2>0，故拋物線與y軸交在正半軸，對稱軸為；當m<0，一次函數過二、四象限，又2m<0，向下移，過二、三、四象限，-m>0，二次函數開口向上，又2>0，故拋物線與y軸交在正半軸，對稱軸為，故選D。

六、靈活求解二次函數的解析式

二次函數有三種形式：（1）若已知一般三個點的坐標，可用一般式（2）若已知頂點為（h，k），可用頂點式 （3）若已知拋物線與x軸有兩個交點，分別為（x1，0），（x2，0），可用交點式。求解二次函數的解析式時，要靈活使用二次函數的三種形式。

例6、根據條件求二次函數的解析式

（1）拋物線過（-1，-4）、（1，0）和（2，3）三點

解析：設二次函數為，

故二次函數為：

（2）拋物線的頂點坐標為（-1，2），且與y軸交點的縱坐標為4

解析：設拋物線為y=a（x+1）2+2，又因與y軸交點的縱坐標為4，即過點（0，4），則有a+2=4，解得：a=2。故二次函數為：y=2（x+1）2+2

（3）拋物線過（-1，0），（3，0），（1，-2）三點；

解析：設拋物線為y=a（x+1）（x-3），由因拋物線過點（1，-2），則有（1+1）×（1-3）a=-2，解得：a=。故二次函數為y=（x+1）（x-3）

七、求二次函數的最值問題

例7、（1）當-2≤x≤2時，求函數y=x2-2x-3的最大值和最小值；（2）當1≤x≤2時，求函數y=-x2-x+1 的最大值和最小值。解析：作出函數的對稱軸和在所給范圍內的草圖，觀察函數的圖像，最高點的縱坐標為函數的最大值，最低點的縱坐標為函數的最小值。（1）觀察圖一，可知：當x=1時，y有最小值-4，當x=-2時，y有最小值5；（2）觀察圖二，可知：當x=1時， y有最小值-1，當x=2時，有最大值-5。

八、二次函數與一元二次方程、不等式的關系

例8、 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖三，觀察圖像，回答下列問題：（1）求方程ax2+bx+c=0的解；（2）求不等式ax2+bx+c>0的解集；（3）求y隨x的增大而增大的自變量x的取值范圍；解析：（1）求方程的解就是求拋物線與x軸交點的橫坐標，故解為x1=1，x2=3；（2）求不等式的解集就是求拋物線在x軸上方點的橫坐標，故解集為1