關于線性代數教學的幾點思考

朱艷麗（華南農業大學　數學與信息學院，廣東　廣州　510642）

關于線性代數教學的幾點思考

朱艷麗
（華南農業大學數學與信息學院，廣東廣州510642）

摘要：隨著信息技術的飛速發展，線性代數在許多科學領域起著越來越重要的作用，線性代數也成為高等院校的一門重要的基礎課程，本文主要介紹了兩點在線性代數教學中學生經常遇到的問題以及解決的方法，這在教師的實際教學和學生日常學習中非常實用，最后也對如何學好這門課提出了一些自己的建議。

關鍵詞：特征值；可逆；正交；正定；對稱

引言

線性代數是高等院校的一門重要基礎課程，隨著計算機科學的飛速發展，使它在許多科學領域都起著越來越重要的作用。由于線性代數里面所包含的基本概念較多，涉及的理論和方法具有較強的邏輯性和抽象性，以至于很多學生，尤其中學是文科背景出來的學生學習起來非常吃力。本文主要介紹兩個在線性代數學習中學生容易遇到的問題和解決的方法，第一個是學生在求矩陣特征值時經常遇見的問題，一旦遇到矩陣特征方程的次數是三次或三次以上時，學生往往不知道如何分解因式求特征值，針對這個問題通過代數學里的艾森斯坦判別法來解決；第二個是對于書本里面四個容易混淆的概念：可逆矩陣、正交矩陣、正定矩陣、對稱矩陣的定義進行了梳理，并討論了它們之間的區別和聯系，讓大家對這四個概念有著更加清晰和深刻；最后對如何學好線性代數提出了一些建議。

一、用艾森斯坦判別法求矩陣的特征值

在線性代數的學習中，求矩陣的特征值經常遇到，因為這在矩陣的對角化和二次型化標準形時都要用到。而求矩陣的特征值需要先求矩陣的特征多項式，再求特征多項式的根。這時一旦遇到次數是三次或三次以上的特征多項式求特征根時，學生往往不知道怎么分解因式找特征根，這時可以使用代數學里的艾森斯坦判別法來解決。下面先介紹艾森斯坦判別法的定理內容：定理：f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個整系數多項式，而是它的一個有理根。其中r,s互素，那么必有s|an,r|a0。特別的，如果f(x)的首項系數an=1，那么f(x)的有理根都是整數，而且是a0的因子。

1.如果矩陣的特征多項式是整系數多項式，由于特征多項式的首項系數為1，使用艾森斯坦判別法我們知道矩陣的特征值一定是其特征多項式中常數項的因子，這樣求特征值的范圍就大大縮小了，可以先找出特征多項式中常數項的所有因子，它們就是矩陣的所有可能的特征值，最后再把它們帶回到特征多項式中，滿足該特征方程的就是矩陣的特征值。下面我們看一道例題：

解：矩陣A的特征多項式為：f(λ)=|λI-A|=λ3-6λ2+3λ+10，由艾森斯坦判別法可知該矩陣的特征值是常數項10的因子，所以可能的特征值有±1,±2，±5,±10代入特征多項式后發現-1,2,5是矩陣A的特征值。

2.如果矩陣的特征多項式是有理系數但不是整系數多項式時，我們可以找到一個與之有相同特征值的整系數多項式，從而也可以使用艾森斯坦判別法求出其特征值。如例2：

這個方法在求特征值時非常有用，尤其是對次數是三次以及三次以上的特征多項式求有理特征根時效果明顯，并且簡單，容易操作，學生很容易理解和掌握，在日常的教學中可以介紹給學生。

二、可逆矩陣、正交矩陣、正定矩陣、對稱矩陣的區別與聯系

線性代數這門課程邏輯性強，前后知識點聯系緊密，理解清楚每個概念非常重要，由于涉及到的概念較多，學生對概念理解的不夠徹底，容易把很多概念混在一起。最常見的問題是學完整本書后，把矩陣里面的可逆矩陣，正交矩陣、正定矩陣、對稱矩陣混在一起，搞不清楚它們之間的區別和聯系因此有必要把這幾個概念理清楚。可逆矩陣的概念在線性代數的學習里經常見到，它幾乎貫穿在整個線性代數的學習中，可逆矩陣一般可以用三種方式來定義：1. n階矩陣A可逆當且僅當存在n階矩陣B使得AB=(BA)=I（I為單位矩陣）；2. n階矩陣A可逆當且僅當存在有限個初等矩陣p1,p2,…，pn使得A=p1,p2,…，pn；3. n階矩陣A可逆當且僅當（A*為A的伴隨矩陣）。

第一個是可逆矩陣最基本的定義，是后面兩個定義的基礎，在有關可逆矩陣的證明時會常用到；第二個定義是用初等變換求逆矩陣的基本原理，在實際的求逆矩陣時我們經常會使用初等變換求矩陣的逆矩陣；第三個定義在實際操作中經常用來判斷矩陣是否可逆，因為只需要判斷矩陣的行列式是否為零就可以了，方法簡單容易操作。正交矩陣的定義有兩種：1. n階矩陣A為正交矩陣當且僅當AAT=ATA=I；2. n階矩陣A為正交矩陣當且僅當矩陣A的行向量和列向量都是標準正交向量組。

第一個定義是正交矩陣的基本定義，在許多關于正交矩陣的證明里會用到；第二個定義可以從矩陣本身看出其是否為正交矩陣，在實際的判斷正交矩陣時經常用到。

正定矩陣是根據二次型來定義的，它的定義是通過正定二次型來刻畫的，正定二次型對應的對稱矩陣稱為正定矩陣，所以正定矩陣首先是對稱矩陣。關于正定矩陣的等價命題一般常用的有三種：

1.實對稱矩陣A正定當且僅當A與單位矩陣I合同；2.實對稱矩陣A正定當且僅當存在可逆矩陣C使得A=CTC；3.（霍爾維茨定理）實對稱矩陣A正定當且僅當A的所有順序階主子式均大于零。

其中在證明與正定矩陣有關的問題時經常用到前面兩個命題，而最后一個命題是我們在實際中判斷一個矩陣是否正定最常用的方法。

對稱矩陣的定義一般有兩種：1. A為對稱矩陣當且僅當AT=A；2. A=(aij)為對稱矩陣當且僅當aij=aji，即矩陣A關于主對角線對稱位置上的元素對應相等。

第一個定義是對稱矩陣的基本定義，在許多關于對稱的證明里會用到；第二個是從矩陣的元素來定義它的對稱性，非常的直觀且容易理解。

通過對定義的分析和理解，可以很容易分清四者的區別和聯系：1.正交矩陣，正定矩陣都是可逆的，因為正交矩陣的行列式為±1，正定矩陣的行列式大于零，都不等于零，所以可逆；2.正交矩陣和正定矩陣之間沒有特別的聯系，但正定矩陣一定是對稱矩陣，正交矩陣不一定是對稱矩陣；3.有限個可逆矩陣相乘還是可逆的，有限個正交矩陣相乘也是正交的，但是兩個正定矩陣相乘未必正定，兩個對稱矩陣相乘也未必是對稱矩陣；

其實如果n階矩陣A,B均為對稱矩陣，AB為對稱矩陣當且僅當AB=BA，由于矩陣的乘法一般不滿足交換律，所以兩個對稱矩陣相乘未必是對稱矩陣。

4.在平時的教學中，很多學生會問，矩陣的可逆性，正交性，正定性，對稱性對矩陣的加法和減法保持嗎？即A,B可逆，A±B可逆嗎？當然不一定，這些反例證明是很容易的。

三、結束語

在線性代數的教學和學習中，無論是求矩陣的特征值還是關于可逆矩陣、正交矩陣、正定矩陣，對稱矩陣、它們都是非常基礎和重要的知識點，在線性代數教學中經常遇到，這樣的解釋和總結往往讓學生更容易理解和掌握，可以在平時的教學中使用。學好線性代數首先要做到：1.理解清楚定義，這是最基本的第一步，只有對每個概念的定義理解清楚了，才能開始下一步的學習；2.會用基本定理，對于有的定理而言，證明的過程不需要掌握，但是要知道該定理用在什么地方以及怎么用；3.掌握常用方法，比如求逆矩陣的方法，求行列式的方法，判斷線性方程組是否有解，以及如何求出解的方法，化二次型為標準形的方法等等；4.善于總結歸納，把一些容易混淆的定義放在一起，找出它們之間的區別和聯系，比如：矩陣與行列式，初學線性代數的人會經常搞不清楚它們的關系，本質的區別就是，矩陣是一張數表，行列式是一個具體的數值；形狀上看，矩陣的行數和列數不一定一樣，行列式的行數和列數必須一樣；寫法上來看，矩陣一般用大寫的小括號表示，行列式一般用兩條豎線表示；它們之間的聯系就是只有方陣才可以求它的行列式。5.通過找反例解決心中疑問，比如：行列式有乘法規則，即A,B是數域P上的兩個n階矩陣，那么|AB|=|A||B|，這時有同學就會提出問題，|A+b|=|A|+|| B||是否成立？這時可以通過找反例解決這個問題，如令A=

，則|A+B|=9≠5=1+4=|A|+|B|。以上就是對如何學習線性代數這門課提出的一些建議，相信只要做到以上幾點，一定可以學好這門課。

參考文獻

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Abstract:With the rapid development of information technology, linear algebra plays an increasingly important role in many scientific fields; it is an important basic course in higher education. This paper mainly introduces the problems and solutions which are often encountered in linear algebra teaching, finally also putting forward some suggestions on how to learn this course.

Keywords:eigenvalue; reversible; orthogonal; positive definite; symmetric

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）05-0132-02

作者簡介：朱艷麗（1979-），女，漢族，四川眉山人，碩士，講師，研究方向：代數圖論，組合圖論。