三種給藥方式的微分方程及函數性態比較探討

王蓮招（廈門醫學高等專科學校，福建　廈門　361008）

三種給藥方式的微分方程及函數性態比較探討

王蓮招
（廈門醫學高等專科學校，福建廈門361008）

摘要：建立數學模型，揭示醫藥學中各變量之間的數量關系，用數學思想方法解決問題，已成為現代醫學發展的潮流。微分方程是建立數學模型的一個重要工具。函數是描述變量間相互聯系的一種數學模型，用于表達變量間相互依賴關系的基本數學形式。研究函數的性態可以更好了解其變化規律，幫助指導解決一些醫藥學問題。本文列表比較一室模型中三種給藥方式的微分方程，并用極限、導數、定積分等微積分數學工具對相應函數的性態進行分析探討，梳理三種給藥方式血藥濃度變化規律。

關鍵詞：微分方程；函數；性態；血藥濃度

隨著科學技術的飛速發展，醫藥學的發展日趨精確化和解析化，亟需利用數學方法解決醫藥學中發現的問題。由定性描述轉向定量化分析，揭示醫藥學中的數量規律性已成為一種趨勢。微分方程在醫藥學的應用也越來越引起人們的關注和重視。藥物動力學是運用動力學原理和數學方法，研究藥物、毒物及代謝物在機體內吸收、分布、代謝和排泄過程定量規律的科學。一室模型假定身體是由一個房室組成，給藥后藥物立即均勻分由于整個房室，并按一級速率過程從該室中排泄出去。不同的給藥方式藥量在體內的變化有不同的規律、不同的效果。血藥濃度變化規律是藥物動力學中重要的問題。下面就最簡單一室模型中三種給藥方式（快速靜脈注射、恒速靜脈滴注、血管外給藥）的微分方程和函數性態及血藥濃度變化情況列表比較探討。

一、微分方程模型及函數[1]

設D0為給藥劑量，D(t)為t時刻體內的藥物量，c(t)為t時刻體內的藥物濃度，vd為藥物的表觀分布容積，k為一級消除速率常數。假設藥物在體內的分布符合一室模型，且按一級速率過程從體內消除，根據動力學模型及藥物在體內的變化符合級速率過程的微分方程表示為：可以建立以下三個微分方程（組），解微分方程的初值問題可得藥量隨時間的變化關系。再將D(t)除以表觀分布容積，得到體內血藥濃度隨時間變化關系。如表1所示。

三種函數都與指數衰減模型函數y=A·ax（其中0＜a＜1）有關。藥物衰變規律公式C=C0·e-kt在醫學上稱為藥物動力學一級反應公式。用它可以研究藥物的衰變規律。

二、函數圖像的性態分析

函數的作圖可以借助計算機作圖軟件或有繪圖功能的函數型計算器等工具，（例如表2中的圖象）。下面利用導數判斷三種血藥濃度函數圖像（稱為藥時-曲線）的性態：有界性、單調性、凹凸性、極值、最值、拐點、漸近線等，如表2所示。

表1

表2　

三、體內血藥濃度變化情況

觀察表2中三種給藥方式的藥時-曲線圖像的性態特征，可以很直觀看出三種給藥方式體內的血藥濃度的有不同的變化過程。如表3所示。

四、典型例題舉例[2]

例1.用某藥物進行靜脈注射，其血藥濃度下降是一級速率過程。第一次注射后，經過一小時后濃度降至初始的，求半衰期。

分析：設t時刻血藥濃度為，c=c(t)，c(0)=c0

由已知得：

解得，C=C0e-kt把已知條件代入，可得ln2，根據表3可得半衰期為。也就是第一次注射后要使體內濃度不低于初始濃度的一半，經過2小時要進行第二次注射。

例2.已知n次靜脈注射某藥后，血液濃度的最高水平和最低水平分別為

表3　

例3.口服一定劑量的某種藥物后，其血藥濃度C與時間的的關系是C(t)=40(e-0.2t-e-2.3t)，問為何值，血藥濃度最高，并求出最高濃度。

分析：C'(t)=40(-0.2e-0.2t+2.3e-2.3t)，由C'(t)=0，可解得t=因為是唯一駐點，所以當t=1.1630時，C有最大值Cmax?28.9423。

以上對藥物動力學中最簡單的一室模型中三種給藥方式函數性態進行對比總結。藥物治療中，治療作用與血液濃度密切相關。藥時-曲線的性態直觀精準地反映出了不同給藥方式的血藥濃度在不同時段的變化情況，對了解藥效的強弱、吸收的快慢及生物利用度等參數有重要的指導作用，為科學準確判斷、分析解決醫藥學中最優化和有效性問題提供了根據，例如口服或肌注一定劑量的某種藥物后，血藥濃度何時達到最高值？為獲得理想的穩定血藥濃度，怎樣控制靜脈滴注速度？病人需要多次給藥，如何確定給藥間隔時間才能達到和維持有效的血藥濃度？等等。隨著科學技術的飛速發展，高等數學成為醫學領域不可或缺的定量分析工具，為醫藥學科研究提供精確的數據和可靠的指導。但藥物在體內的動態變化過程相當復雜（如二室模型、多次給藥情況等），還需要更多高等數學知識方法綜合運用才能更好解決醫學問題，因此在醫用高等教學中教學要結合醫藥學實際問題，實施問題驅動，加強數學建模能力的訓練和運用數學方法的意識，培養學生科學創新研究精神和定量分析的思維方法，提高分析問題和解決問題的能力。

參考文獻

[1]顧作林.高等數學[M].北京：人民衛生出版社，2011.

[2]吳贛昌.醫用高等數學[M].北京：中國人民大學出版社，2012.

Abstract:To establish mathematical model which reveals the quantitative relation between the variables in the medicine and to solve some problems by mathematic thinking have formed the trend of the development of modern medicine. Differential equation is an important tool for the establishment of a mathematical model while its function is a mathematical model describing the interrelation between the variables. The research on function condition may help understand the change rule, which guides to solve some problems in medicine. This paper compares the differential equations of three drug delivery methods in one room model, explores the properties of the corresponding functions by means of the limit, derivative, definite integral, etc. and analyzes the change law of blood concentration of the three drug delivery methods.

Keywords:differential equation; function; condition; blood concentration

中圖分類號：O175

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）05-0111-03

作者簡介：王蓮招（1964-），女，福建龍海人，高級講師，從事數學教育工作。