對稱算子空間上保持Jordan三重零積的映射

毛雁翎

【摘要】對稱算子空間上保持Jordan三重零積的映射，假設H是無維復Hilbert空間，此時H中的標準正交基就是ε={eλ/λ∈Λ}，H中有關ε實際上的對稱算子就是Sy（H），依據此分析Jordan三重零積的映射.

【關鍵詞】對稱算子空間；Jordan；三重零積；映射

算子空間或者算子代數中的非線性或者線性問題就是語句中函數、性質刻畫形成的相關關系，以此作為形成不變量映射的基本特征，并且逐漸得到廣泛關注.相比較線性映射來說，依據減弱線性來分析保持不變的某種特征情況系的非線性映射或者加映射，本文主要分析了對稱算子空間上保持Jordan三重零積的映射.

一、基本概念和符號

假設無維復Hilbert空間是H，H中有界線性算子全體用B（H）表示，x取任意值，x∈H，x形成的子空間用[x]表示，此時H中的標準正交基就是ε={eλ/λ∈Λ}，如果屬于H，那么X=∑λ=Λ（x，eλ）eλ，此時就可以說x-=∑λ=Λ（eλ，x）eλ，x，y為任意取值的非零向量，都屬于H，可以得到（x，y-）=（y，x-，）假設S，T屬于B（H），如果（Teλ，eμ）=（Seλ，eμ）λ，μ∈Λ能夠成立，那么就可以說S是T的轉置.記為S=TT，如果在H的正交基中具備的ε都可以滿足T=TT，那么T就是對稱算子，在H上定義共軛線性算子J，存在JX=x-，∈H，那么就可以得到J2=I，I就是Hilbert空間中的恒等算子也就是TT=JT*J.在正交基ε基礎上，B（H）的對稱算子全體記為Sy（H），可發現所有對稱算子都能記為xx-，∈H，并且z（xx-）=（z，x-）x，z∈H.如果τ（α）=α-，那么τ線性映射被稱共軛線性，共軛算子A來說，H→H，有關于ε的相應轉置AT，也就是說H上存在的共軛線性算子，能夠滿足（ATeλ，eμ）=（eλ，Aeμ）λ，μ屬于Λ，如果X1-X2屬于一秩算子，X1，X2∈Sy（H），也就說X1是X2相鄰的.二、主要定理和證明

假設A，B∈Sy（H），那么ABAS就是B與A的Jordan三重積，可以容易得到有關Jordan的三重積Sy（H）的運算屬于代數結構，如果φ是Sy（H）存在的映射，A，B屬于Sy（H），假設存在ABA=0，就能夠得到φ（A）φ（B）φ（A）=0，也就說φ是S在Sy（H）上能夠保證的Jordan三重零積映射，如果φ（A）φ（B）φ（A）=0，當且僅當ABA=0的時候，φ就是保持雙邊的Jordan三重零積映射.

定義一：假設A屬于Sy（H）是非零算子，并且存在ΩA={B∈Sy（H），ABA=0}，如果任何非零算子N都屬于Sy（H），并且ΩAΩZ，以及ΩA=ΩZ，那么此時ΩA是極大的.

引理一：假設X1，X2屬于H都是非零向量，ΩAx-1=ΩZx-2，那么X1，X2具備線性相關.

證明：任意取值ξ-屬于x1⊥，那么（x1x-1）（ξξ-）（x1x-1）=（x1，ξ-）2x1x-1=0，也就是說ξξ-屬于ΩAx-1=ΩZx-2，（x2x-2）（ξξ-）（x2x-2）=（x2，ξ-）2x2x-2=0，又因為x2≠0，所以（x2，ξ-）=0，那么此時ξ-屬于x2⊥，因為x1⊥x2⊥，那么就可以得到x2⊥x1⊥，因此，X1，X2存在一定線性相關，證明結束.

引理二：假設A屬于Sy（H）是非零算子，那么A就是一秩算子，并且當且僅當ΩA是極大的.

證明：

必要性：假設A=xx-屬于Sy（H），并且N屬于Sy（H）＼＼{0}，并且ΩAΩZ，y屬于x⊥，那么此時yy-屬于ΩAΩZ，以便于得到N（yy-）N=0，也*就是說NyN*y-=0，表示N*y-=0或者Ny=0，又由于N*y-=0=JN*y-=JN*Jy=Ny，所以，y屬于ker（N），從而得到x-⊥屬于ker（N）的子集，因為N不等于0，所以.N屬于一秩算子并且N等于λA，其中，λ屬于C＼＼（0），又因為ΩAΩZ，所以，ΩA=ΩZ，也就是ΩA是極大的[3].

充分性：假設ΩA是極大的，那么A=AT=JA*J，得到A*=JAJ，因此，A*x-=JAJx-=JAx=Ax.任意取值B屬于ΩA，存在ABA=0，x屬于H，但是Ax不等于0，則0=（ABAx，x-）=（BAx，x-）=（BAx，Ax），然后得到（AxAx）B（AxAx），此時讓A1=AxAx，那么A1BA1=0，由于B屬于ΩA1，也就是ΩA是ΩA1的子集，由于A1屬于一秩算子，有上面的必要性可以得到，ΩA是極大的，因此，ΩA=ΩAxAx，X1，X2屬于H，促使Ax1不等于0，Ax2不等于0，那么ΩAx1Ax=ΩAx2Ax，通過引理一能夠發現，AX1，AX2具備線性關系，也就是說A屬于一秩算子.

結束語

無維復Hilbert空間，在Sy（H）上φ是可加滿射，那么φ雙邊保持ordan三重零積的映射，并且僅僅只有一個非零常數滿足條件.

【參考文獻】

[1]黃婷，吉國興.對稱算子空間及自伴算子空間上的三重Jordan映射[J].紡織高校基礎科學學報，2010，23（1）：34-38.

[2]劉星星.對稱算子空間上保持Jordan三重零積的映射[J].紡織高校基礎科學學報，2013，26（1）：79-82.

[3]樊萍.對稱算子空間上Jordantriple初等映射的可加性[J].寶雞文理學院學報（自然科學版），2010，30（4）：1-4.D

[4]安潤玲，狄青會，杜雪峰等.自伴算子空間和對稱算子空間上保粘切性的映射[J].山西師范大學學報（自然科學版），2011，18（2）：1-5.