0做除數有意義0做除數有意義

孔繁盛 王運貞

【摘要】0能不能做除數，在數學教科書里總是把它說成“0做除數無意義”而被處以“死刑”.科技發展到21世紀的今天，這個古老而又基本的數學問題，是應到了該解決的時候了.我認為應把0從“0做除數無意義”中解放出來，這對于人類從理論上，從客觀上認識宇宙，具有很重要的意義.經過我多年的探索和論證，將“0做除數有意義”的結論和想法寫出來，誠心與各界人士切磋，以求為祖國的數學事業的發展盡微薄之力.

【關鍵詞】“0” 做除數；有意義；超限數論；∝ 是個數 參加四則運算

根據我多年的教學經驗，我認為無論是從代數、幾何，還是從物理、化學、哲學的角度考慮，0是能做除數的.現在我把我的結論和想法寫出來，來和大家一起磋商和研討這個問題.

結論：00=∝∝=1（宇宙）.

推論：1.∝A=∝ （無限） A∝（無限）=0.

2.A0=∝ （有限），0A=0.

想法：

1.我認為我的結論是宇宙間的一條公理.如果是公理，那么只能公認，不能證明.所以我這里用了“想法”這個詞，意思是說明這不算是什么論證，只算是一種論理.

2.我這里說的0，即為宇宙間的任意點，意義是無限小，他存在而不可達.我這里所說的∝ ，即為宇宙間無窮點的全體，意義是無窮大，它存在而不可越.這正好說明了宇宙的存在，并且只有一個.他是一個從無限小到無窮大的對立統一體.而我們正好生活在比0大而又比∝ 小的相對空間里.不管將來我們的文明人類（甚至多少個文明類聯合起來）從意念中認識到多大的宇宙空間，但這個空間同整個浩瀚宇宙比起來，仍然是極小的一部分.公式A∝（無限）=0就說明了這個問題.不管將來我們的文明人類在意念中認識了多么小的微觀世界，例如遺傳基因，但它的體積同無限小的0相比，仍然是無窮大.公式A0=∝就說明了這個問題.有人把探明基因的結構比喻成登上月球，那么我們什么時候才能登上質子，登上電子呢？比電子更小的物質微粒又是什么呢？我看不管人類是向宏觀世界進軍，還是向微觀世界進軍，其難度都是一樣大的，他都決定于科技的發展與進步.

3.00=∝∝=1（宇宙）與AA=1及其推論的關系：對于00=∝∝=1（宇宙），無論是從0→∝ 不可越，還是從∝→0不可達，他都說明宇宙只有一個，并且宇宙是沒有中心的，也是沒有邊緣的，這是絕對的.而AA=1 和推論都是相對的，是既可達又可越的.例如前面說的A∝（無限）=0，這里的A代表了多大的宇宙空間數字啊！但它和浩瀚宇宙相比，其結果仍然為0.這說明我們在0點里，可達.而公式A0=∝（有限），這里的A代表了多小的微渺空間微數啊！但它和無限小的0相比，其結果仍然是∝（有限）.這說明我們在∝（有限）之外，可越.

4.我相信00=∝∝=1（宇宙）及其推論與初等數學的運算規律和高等數學的運算規律不會相矛盾.但我清楚地認識到，0做除數以后，特別是∝也作為一個數參加到數學運算中去，一定會給運算帶來一些新的問題，但這也不用怕，只要做一些新規定就可以了，問題總會解決的.我曾想把∝規定成一個最大自然數，成不成，看大家認可不認可.這里最重要的是：0仍然是一個中性數.應承認0﹡∝=1（宇宙）即0和∝互為倒數.

我們再來看結論00=∝∝=1（宇宙）.既然0和∝都是數，那么它們和其他數A也有共同的屬性，那就是任何兩個相同的數相除都等于1.只不過這里的1，從0和∝ 的定義看，也只能是宇宙1.這也是兩個特殊數的特殊性造成的，這是絕對的.再來看推論：1.∝A=∝（無限），A0=∝（有限）；2.A∝（無限）=0，0A=0.由∝A=∝（個）得0=A∞=1∞（個） 即0﹡∝（個）=1.∵這里的∝是無限∝，根據0﹡∝=1（宇宙），∴∝（個）也是無限無窮.可看出，絕對無窮被一個常量去除，其結果仍然是一個絕對無窮.我們把∝A=∝（個）化成∝=A ﹡∝（個），可看出，任何一個常量與一個絕對無窮的積等于一個絕對無窮.由A0=∝（個），可看出任何一個常量除以0，都等于一個相對無窮.我們把A0=∝（個） 化成A=0﹡∝（個）可看出，任何一個常量都等于0與一個相對無窮的積.例如，我們設a、b是任意兩個不同的實數，令A=︱a-b︱，則A0=︱a-b︱/0=∝（個），這和數軸上a與b之間有無窮個實數，而這無窮個實數又正好與a與b之間所表示的線段上的無窮個點形成一一對應的關系，完全統一，完全一致.如圖.（關于什么是絕對無窮，什么是相對無窮，請看我的第二篇論文《論“超限數論”的理論基礎》）關于A∝（無限）=0，我在想法2和想法3里已作了闡述.對于0A=0，大家一看便知，這里就不再細說了.

以上所談，我們可以看出，不管是結論還是推論，對于0和∞這兩個數參與數的四則運算，與初等數學運算規律和高等數學運算規律都不矛盾，并且是統一的，一致的.

5.從00=∝∝=1（宇宙）還可以看出，不論是0→∝還是∝→0都是表示的點，而這些點又都是表示的數.所以，只要我們在宇宙間建立一個數軸，或一個什么數標系，在規定上長度單位（這很重要），那么宇宙間的任何點與我們意念中的什么數都能建立一一對應的關系.即點和點表示的數都有它特定的位置.從自然數、實數、復數、到三維向量空間，這一數的發展過程，不正說明了這個道理嗎？看來，數只有和點和形相結合，才是完美的完整的數學.

6.說到這里，我要給“超限數論”提一個標準.我看了2000年4月19日河北出版的《初中生周報》第二版“伽利略的難題”（看后面復印件）一文后，深有感觸，說康托爾抓住了“關鍵”——“一一對應”.1，2，3，…與12，22，32…真的一一對應嗎？同樣多嗎？在數學里的一一對應，其意義有二，下面我以實數與數軸上的點一一對應為例來說明.

意義其一，實數是個無窮集，實數在實際生活中有它的特定意義，或表示長度，或表示面積、重量等.所以實數是數，有數的特定意義和性質.

意義其二，數軸本身是一條直線，數軸上的點，是另一個無窮集.所以數軸和數軸上的點是表示幾何意義和性質的.

顯然，數學里描述的一一對應的兩個無窮集，其意義和性質是完全不同的，是數與形的結合.

問題就出在這里，再來看1，2，3…與12，22，32…它們都屬于同一屬性的自然數集合，這樣搞一一對應顯然是錯誤的.這里我再講一個與本文有關的故事：我1963年入邢臺市一中上高中，其間，我曾與數學老師宋成賓發生過一段爭論.宋在我的作業本上畫了兩條長短不等的線段說：“你說這兩條線段，那條線段上的點多.”我立即回答：“長線段上的點多.”宋說：“我說一樣多.你看，我在這兒找一光點，射這兩條線段，如圖，這不是一樣多嗎？” 我想了一下：“你那樣找光點，如果我用一束平行光線垂直照射，如圖，那么多余的部分應怎樣解釋呢？”宋老師無言答對，最后我落了個“鉆死牛角尖”.為什么你用一種方法找到了一種“一一對應”關系，而我用同樣的方法否定了你的“一一對應”關系.你找到的就應承認，而我找到的，有道理也不認可.最后用“只要找到就行”，硬把理奪去呢？現在看來，問題的“關鍵”還在“標準”.因為比較的兩條線段，都是由點組成的，屬于同一屬性的幾何點集.我們不能把這部分無窮點集與那部分無窮點集搞“一一對應”.

那么能不能比較1，2，3…與12，22，32…； 與 的多少大小呢？答案是：肯定能.標準只有一個，數學里的一一對應.要比較1，2，3…與12，22，32…的多少，就把它們置于數軸之上，看它們在相同的數域里，誰的數多.顯然，在數軸的正半軸上，不管把數域擴展多遠，在同樣大的數域里，表示自然數的點總比表示平方數的點多得多.所以我們毫不客氣地說：“1，2，3…比12，22，32…多.”同樣我們把 和 也放在數軸上任何部位，都可以看出，線段a表示的數域要比線段b表示的數域小的多.數域小，與數對應的點就少；數域大，與數對應的點就多.所以，線段a上的點要比線段b上的點少.我們給這種比較法起個名字，叫做“數域比較法”.看來，“超限數論”的研究必須把數與形結合起來，否則，將不是一門完美的數學.

對于“數域比較法”，我想其基本內容應當有四點.其一，要比較兩條線段上含點的多少，要把它們放在數軸上，用實數域去比較.其二，要比較兩塊面積里含點多少，要把它們放在平面直角坐標系里，用實數對（或復數域）去比較.其三，要比較兩塊體積里含點的多少，要把它們放在空間直角坐標系中，用三個有序實數組（或三位向量域）來比較.其四，要比較一塊體積，一塊面積，一條直線之間誰含點的多少，那將是一個更加復雜，更加困難的數學方法問題.說復雜困難 ，意思是說應承認0能做除數.對這四個基本內容，我想應寫一本書，來專門闡述它.為了加深讀者對數域比較法和0與∝參與數學運算的理解，請看我的第二篇論文《論“超限數論”的理論基礎》.

7.由00=∝∝=1（宇宙）推想到的：既然宇宙是一個從0→∝的對立統一體，那么宇宙間的物質就應是從無限小的微粒到無限大的粒體構成.“無限小”和“無限大”怎樣理解，這應由天文學家、物理學家和化學家來推斷，來定義.而浩瀚的宇宙就應是這些大小不同、性質不一的物質粒體的物質實體.且不說這些大小不同的物質粒體其本身性質的區別和它們之間的聯系，但可懇切地說，它們都有一個共同的屬性，那就是運動.也正是有了這些運動的物質，才出現了各種形式的能，才形成了這個活生生客觀存在的過去宇宙，現代宇宙和未來宇宙.宇宙間的一切現象和存在，都是物質運動的結果.光、電、聲、磁、場、星體、星云、“以太”等，無不是物質運動的結果.沒有物質的運動，就沒有我們居住的地球，也沒有現在這個生機勃勃的世界.更沒有我們現代的文明人類.如果說生命是物質的高級運動，那么文明是物質的超級運動.先有物質，后有精神.精神是物質的超級運動，是后天形成的.我們驚呼：物質萬歲！唯物論萬歲！沒有物質和物質的運動就沒有一切！

8.結語：0能不能做除數，在數學教科書里總是把它說成“0做除數無意義”而被處以“死刑”.科技發展到21世紀的今天，這個古老而又基本的數學問題，是應到了該解決的時候了.我認為應把0從“0做除數無意義”中解放出來.這對于人類從理論上，從客觀上認識宇宙，具有很重要的意義.數是人類對客觀世界的抽象，反過來，他也反映和揭示了客觀世界.我認為我想的寫的是真理.“真理哪怕只見到一線我們也不能讓它的光輝變得暗淡.”可是自己的科技水平、數學水平有限，本文一般都是在自然數或正數范圍內闡述的，只是一個框架.因此，我誠心希望貴刊貴報能全文發表我的稿文，引起爭鳴.好讓廣大的教師、數學界、科技界一起來法難，來充實完善，來認可.以求得祖國數學事業的發展，人類科技的進步.