355毫升易拉罐最優設計

戴之卓

【摘要】觀察了市場中355毫升易拉罐的形狀，從節約材料、美觀、焊接等方面對易拉罐進行優化設計，建立了5個層次的數學模型，借助不等式、單調性、一元函數微分等知識進行分析探討，最后對模型進行拓展改進，提出更合理的數學模型.

【關鍵詞】易拉罐；最優；一元函數微分學

市面上，飲料量為355毫升的易拉罐的形狀和尺寸幾乎都是一樣的，這應該不是偶然現象.易拉罐的設計是在應用很多數學知識優化后設計出來的，我們用數學模型分析易拉罐的形狀和尺寸，探尋在某種意義下的最優設計.

1.只考慮材料最省的正圓柱體易拉罐設計

圖 1假設包裝是標準的圓柱，忽略包裝材料的接縫，設圓柱底面半徑為r，圓柱高為h，上底厚度為a，圓柱厚度為b、下底厚度為c，易拉罐的容積為V，易拉罐制作用料體積為y，則有

V=πr2h，y=2πrhb+πr2（a+c），

r2h=Vh，

由不等式a+b+c≥33abc[1]可得

y=πrhb+πrhb+πr2（a+c）≥3π3r4h2b2（a+c）=3π3（Vπ）2b2（a+c）

當且僅當πrhb=πr2（a+c），即rh=ba+c時，易拉罐制作用料體積最小.

根據測量，飲料量為355毫升的可樂、雪碧等的易拉罐上底厚度為約在0.034 cm，圓柱厚度約為0.012 cm、下底厚度約為0.040 cm[2]，則rh=ba+c≈0.162，實際下底半徑約為3.28 cm，高約為10.90 cm，rh≈0.301，通過該模型測算結果與實踐值出入很大.

2.只考慮焊縫工作量最小的正圓柱易拉罐設計

如果易拉罐是圖1這樣的正圓柱體，焊縫是在上下底圓周和側面，總的焊縫工作量為L=4πr+Vπr2=2πr+2πr+Vπr2≥334πV，當r=3V2π2時，總的焊縫工作量取最小值334πV.

3.材料最省和焊縫工作量都考慮的最小正圓柱易拉罐設計

假設鋁合金的價格為k1元/cm3，假設易拉罐的焊接價格為k2元/cm.那么目標函數需要為

y=[2πrhb+πr2（a+c）]k1+[4πr+Vπr2]k2.

可用導數去求解最優值：

dydr=[2πhb+2πr（a+c）]k1+[4π-2Vπr3]k2

令dydr=0，即π（πhbk1+2πk2）r3+πk1（a+c）r4-Vk2=0，求此方程的非負實數解，就可以得到最優設計.

4.基于黃金分割律的正圓柱體易拉罐設計

黃金分割律又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為1∶0.618或1.618∶1，即長段為全段的0.618.在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么稱線段AB被點C黃金分割（golden section），點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.其中ACAB≈0.618.

著名的古希臘數學家畢達哥拉斯有一句名言：“凡是美的東西都具有共同的特征，就是部分與部分及部分與整體之間的協調一致.”自從古希臘數學家歐多克索首次發現了“黃金比”后，0.618這一數據便成了“協調一致”公認的美學規律.

考慮易拉罐的美觀，易拉罐設計應該滿足2rh=0.618，則r=0.309h，易拉罐制作用料體積y=2πrhb+πr2（a+c）=[0.618π+0.3092（a+c）π]h2，此函數為二次函數，在h>0時，y單調自增函數.又有V=πr2h，h=3V0.3092π，則r=30.309Vπ.很顯然，實際體積可以不小于V，所以當r=30.309Vπ，h=3V0.3092π時，y取最小值.用V=355帶入得到r=3.269，h=10.579，改進后的模型計算結果與實際易拉罐尺寸測量數據比較接近.

圖 25.上部分是正圓臺和下部分是圓柱體的易拉罐設計

圓柱形易拉罐在開啟時用力拉伸容易使易拉罐變形，所以把易拉罐設計成上面部分是正圓臺和下面部分圓柱體，從而使其剛性增加.最優為以實際的易拉罐并不是一個圓柱體，把易拉罐設計成上面部分是正圓臺和下面部分圓柱體.設圓柱上表面半徑為r1，圓柱下底面半徑為r2，圓臺高為h1，圓柱高為h2，上底厚度為a，圓柱厚度為b、下底厚度為c，圓臺厚度為d，易拉罐的容積為V，易拉罐制作用料體積為y，則y=2πr2h1b+πr21a+πr22c+π（r1+r2）h22+（r2-r1）2d，

V=πr22h1+π3（r21+r22+r1r2）h2，

考慮到美觀，基于黃金分割律可得

2r2h1+h2=0.618，從而r2=0.309h1+0.309h2.

考慮圓臺和圓柱體結合處的粘合性，圓柱臺的坡度最優為tanα=h2r2-r1=103[3]，從而得r1=r2-0.3h2=0.309h1+0.009h2.這個數學模型為帶有約束條件的最小值問題，求解較為復雜.按照飲料量為355毫升的可樂、雪碧等的易拉罐上底厚度為約在0.034 cm，圓柱厚度約為0.012 cm、下底厚度約為0.040 cm，圓臺厚度0.020 cm，可以通過lingo軟件求解h1=9.857，從而可以得h2=0.739，r1=3.052，r2=3.274.

6.模型的改進

制作易拉罐的費用除了材料費外，易拉罐的制造過程中焊接接口工作量.那么目標函數需要改進為

y=[2πr2h1b+πr21a+πr22c+π（r1+r2）h22+（r2-r1）2d]k1+[h1+2π（r1+r2）+h22+（r2-r1）2]k2在滿足體積、焊接粘合性和黃金分割律約束條件下，所求得最優值，應該會更加合理.另外，易拉罐底部，也不一定是平的.在考慮耐受沖擊力的情況下，底部是一個圓凹槽可能會更好，這些都值得我們進一步研究.

【參考文獻】

[1]劉彭芝，王珉珠.中學數學課題學習指導[M].北京：中國人民大學出版社，2010：44-48.

[2]郝玉徽.易拉罐形狀和尺寸的最優設計模型[J].大學數學，2009，25（2）：147-153.

[3]相秀芬.易拉罐的最優設計方案[J].包裝工程，2008，29（1）：94-96.

[4]周文國.易拉罐的設計方案[J].中學數學教學，2002，5（1）：12-13.