淺析一致收斂的判斷

成豐琰

【摘要】本文通過揭示一致連續與一致收斂概念之間的內在聯系，導出了利用連續性判定一致收斂的方法.此方法對于通常的初等函數及函數列一致收斂與非一致收斂的判定非常有效.它不僅用于一致連續與一致收斂區間上的討論，而且可用于更廣意義下的討論.

【關鍵詞】一致連續；一致收斂；初等函數；函數列.

【中圖分類號】O171

1.一致收斂概念的推廣

設 f（x，y）在區域G上有定義，點集DG.

定義1 limy→y0f（x，y）= φ（x，y0）在D上一致收斂，當且僅當對ε>0，δ>0，對

（x，y）∈G，（x，y0） ∈D，只要︱y-y0 ︱<δ，則有

︱f（x，y）一φ（x，y0）︱<ε.

特殊地，若D為曲線L：y=y（x），a≤x≤b時，則有

limy→y（x）f（x，y）= φ（x）在[a，b]上一致收斂.

更特殊地，若D為線段L：y=y0，a≤x≤b時，則有

limy→y0f（x，y）= φ（x）在[a，b]上一致收斂.

定義2 lim（x，y）→（x0，y0） f（x，y） =φ（x0，y0）在G上一致收斂，當且僅當對ε> 0，δ>0，對（x，y），（x0，y0） ∈G，只要∣x-x0∣<δ，∣y-y0∣<δ，則有

∣f（x，y） - φ（x0，y0）∣<ε.

2.一致收斂與一致連續的關系

我們將定義2與一致連續的ε-δ定義對照，可得

命題 f（x，y）在區域G上一致連續，當且僅當

lim（x，y）→（x0，y0） f（x，y）=f（x0，y0）

在區域G上一致收斂.

令 μ={（x，y）∣a≤x≤b，c≤y≤d}.

證明 必要性顯然成立；

充分性：由（1）得：對ε> 0，δ1 > 0，對（x，y），（x0，y）∈μ，只要∣x-x0∣< δ1，則有

∣f（x，y）-f（x0，y）∣< ε2.

又由（2）得 δ2> 0，對 （x，y），（x，y0）∈μ，只要∣y-y0∣< δ2，則有

∣f（x，y）-f（x，y0）∣<ε2.

于是，取δ=min{δ1，δ2}，則對（x，y），（x0，y0）∈μ，只要∣x-x0∣<δ， ∣y-y0∣<δ，則有

∣f（x，y）-f（x0，y0）∣≤∣f（x，y）-f（x0，y）∣+∣f（x0，y）-f（x0，y0）∣<ε2+ε2=ε （ （x0，y） ∈μ）

lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）=f（x0，y0）在μ上一致收斂.

3.閉矩形上連續函數的一致收斂性

定理1 若f（x，y）在有界閉矩形上連續，則對定義域內任意曲線：y=y（x），

a≤x≤b，有

limy→y（x）f（x，y）=fx，y（x）在[a，b]上一致收斂.

證明 f（x，y）在有界閉矩形上連續，故必一致連續.于是由命題1 、2、 3可知結論顯然成立.

常用的是定理1結論的特殊情形：

limy→d-f（x，y）=fx，d在[a，b]上一致收斂.

limy→c+f（x，y）=fx，c 在[a，b]上一致收斂.

4.函數列的一致收斂性

借助于二元函數的一致收斂性可以判定函數列的一致收斂性.

實際上可以證明φ（x）在[a，b]上連續，當然在[a，b]上也不一定一致連續.

以下取：μ-={（x，y）∣a≤x≤b，c≤y≤+∞，a，b∈R-}.

定理3 若f（x，y）在μ-上連續，則limn→+∞f（x，n）=f（x，+∞）在[a，b]上一致收斂.

無須多舉例子我們已可看出定理3與4已足以解決一般函數列的一致收斂性.從理論上來說由定理2的一般結論容易得到定理4的如下一般情形：

定理4 若f（x，y） 在μ-上連續，存在曲線族ya（x） μ-，n= 1，2…x∈[a，b]，若ya（x）一致收斂于曲線y（x），則limyα→y（x）f（x，y）=fx，y（x）在[a，b]上一致連續且在[a，b]上一致收斂.