一類三維競爭系統的周期解軌道

姬文娟 李斌 崔明 張燁

【摘要】我們考慮HIV1病毒動力學模型的特殊情況，一類三維競爭系統，通過常微分方程中競爭系統和一致持續系統的性質，證明了高維自治系統周期解的存在性和軌道漸近穩定性.若R0<1，體內病毒可以被清除，疾病最終消失；若R0>1，病毒在宿主體內持續存在，模型解會趨于地方病平衡點或者一個周期解，后者只在一定條件下排除存在的可能性.同時，我們選擇合適的參數和閾值，針對幾類模型的理論分析進行數值模擬，得到了較為合理的模擬結果并且直觀反映了理論分析的合理性.

【關鍵詞】HIV；細胞間傳播；穩定性；周期解；競爭系統

本文我們主要證明一類三維競爭系統周期解的存在性和穩定性，同時在模型中不考慮宿主體內的細胞直接接觸感染k2項，是為了利用三維競爭系統的性質來得到結論.從而得到下面這個模型：

dTdt=s+pT（1-TTmax）-dTT-（1-ηRT）k1VTdT*dt=（1-ηRT）k1VT-δT*dVdt=NδT*-cV（1）

s表示宿主體內產生健康T細胞的比例，當然已有的T細胞也能夠產生健康T細胞，p表示最長生命周期率，Tmax表示T細胞在其生命周期內產生的T細胞種群密度.假設健康細胞T的自然死亡率dT和被感染細胞T*的死亡率δ是恒定的，c表示自由病毒粒子V的死亡率.k1VT表示T細胞接觸病毒粒子V以后被感染的數量比，k1是恒定的感染率.N表示被感染細胞生命周期內釋放的病毒粒子的總數.記f（T）=s+pT（1-TTmax）-dTT.

1.周期解的存在性和軌道漸近穩定性

定理5 假如系統（1）存在周期解，那么解軌道是漸近穩定的.

證明.設這個周期解是p（t）=（p1（t），p2（t），p3（t））T，并且假定其最小正周期是ω>0.根據解的有界性，0≤p1（t）≤T0，對t∈[0，ω].

證明周期解的穩定性需要利用第二次復合方程的方法，構造下面這個系統：

z·=f[2]x（p（t））z，z=（z1（t），z2（t），z3（t））T.（4）

f[2]x=a11+a22a23-a13a32a11+a33a12-a31a21a22+a33

=f′（T）-（1-ηRT）k1V-δ（1-ηRT）k1T（1-ηRT）k1TNδf′（T）-（1-ηRT）k1V-c00（1-ηRT）k1V-δ-c

aij表示系統Jacobian矩陣中第i行第j列的值.（4）是原系統的線性變分方程，也被稱為第二次復合方程，f[2]x稱為f的Jacobian矩陣fx的第二次復合矩陣.假如系統（4）漸近穩定，那么原系統的周期解p（t）也是漸近穩定的.這是Poincaré關于平面自治系統存在周期解時解的軌道漸近穩定性準則的推廣.建立系統的一個Lyapunov函數：

V（z1，z2，z3；p（t））：=sup{|z1|，p2（t）p3（t）（|z2|+|z3|）}，顯然上面建立的V函數是恒正的，但是并非處處可微.用V的右導數修正，表示為D+V（t）：

D+（|z1（t）|）≤（f′（p1）-（1-ηRT）k1p3（t）-δ）|z1（t）|+（1-ηRT）k1p1（t）p3（t）p2（t）p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）

D+（p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|））=（p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t））*p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）+p2（t）p3（t）D+（|z2（t）|+|z3（t）|）≤p2（t）p3（t）Nδ|z1（t）|+p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）（p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t）-c）-p2（t）p3（t）（-f′（p1（t））|z2（t）|+δ|z3（t）|） ≤p2（t）p3（t）Nδ|z1（t）|+p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）（p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t）-c-min（α*，δ））

0<α*=-maxT∈[0，T0]f′（T）.定義這樣一個函數：

g1（t）=f′（p1）-（1-ηRT）k1p3（t）-δ+（1-ηRT）k1p1（t）p3（t）/p2（t）=f′（p1）-（1-ηRT）k1p3（t）+p·2（t）/p2（t）.

這里

g2（t）=p2（t）p3（t）Nδ+p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t）-c-min（α*，δ）

=p·2（t）p2（t）-min（α*，δ）.

根據上面兩個等式g1（t）和g2（t），以及p（t）滿足模型，我們易得：D+V（t）≤sup（g1（t），g2（t））V（t）.因為g1（t）≤-α*+p2（t）/p2（t）·，g1（t）≤g2（t），所以有D+V（t）≤g2（t）V（t）.為了證明D+V（t）<0，只須要有∫ω0g2（t）dt<0.

∫ω0g2（t）dt=∫ω0（p·2（t）p2（t）-min（α*，δ））dt<0，∫ω0p·2（t）p2（t）dt=∫ω0dp2（t）p2（t）=0

最終得到D+V（t）<0.因此我們證明了模型具有周期解時，解軌道的漸近穩定性

定理6 當R0>1，但模型（1）的地方病平衡點E1=（T1，T1*，V）不穩定時，模型（1）在D內部存在軌道漸近穩定的周期解.

證明.利用RouthHurwitz準則，容易證得模型（1）在R0>1和f′（T1）<0的條件下地方病平衡點是局部漸近穩定的（證明過程見定理4）.但如果E1不穩定，對模型（1）作一個變換，令w=（X，Y，Z）=（-T，T*，-V），則（1）轉換為：

dXdt=-s+pX1+XTmax-dTX+（1-ηRT）k1XZdYdt=（1-ηRT）k1XZ-δYdVdt=-NδY-cZ（5）

模型（5）在w點處的Jacobian矩陣記為t>T（w0）>0（T（0），T*（0），V（0））=（800，500，1000）N=100k1=0.0003w（t，w0）∈R.

記集合W：={（X，Y，Z）：X，Z≤0，Y≥0}，在集合W中J（w）除對角線以外的元素均為非正，所以模型（5）在W中是三維競爭系統.令w*=（X*，Y*，Z*），根據題設中的條件易得，w*是不穩定的，并且det（J（w*））<0.另外，對于w0∈intW，W內部都存在緊集R，使得當t>T（w0）時，對w（t，w0）∈R，都有T（w0）>0.引用文獻[10]中的定理1.1和1.2，因為w*是不穩定的，所以模型（7）至少存在一個軌道漸近穩定的周期解.同時由于模型（5）是（1）的線性變換，所以模型（1）至少存在一個軌道漸近穩定的周期解.

2.數值模擬

下圖反映了初值取（T（0），T*（0），V（0））=（800，500，1000）時，模型（1）存在一個軌道漸近穩定的周期解.

T、T*和V隨時間的變化

圖中的參數取值為：s=5，dT=0.008，δ=0.3，Tmax=1500，N=100，c=2.5，ηRT=0.1，k1=0.0003.

本文小結

利用RouthHurwitz準則和構造Lyapunov函數的方法可證明了模型（1）中無病平衡點和地方病平衡點的穩定性.模型（1）是一個三維競爭系統，因此我們可以利用競爭系統的特性和論證周期解的軌道漸近穩定性證明地方病平衡點的性質，并且利用一些小技巧找到了滿足周期解存在的參數條件，模擬出了地方病平衡點不穩定時的周期解軌道.