在數學建模中常微分方程的應用分析

劉巧云

【摘要】隨著我國經濟發展水平的不斷提高，素質教育改革在深入開展，數學是素質教育階段一項非常重要的課程，是素質教育階段必須研修的課程，數學教學當中不僅要使學生掌握到最基本的數學知識，更要培養學生獨立學習的能力增強對學習數學的興趣.本文對數學建模中常用微分方程應用進行了探討，使數學模型更具有基礎性、直觀性與應用性.

【關鍵詞】數學建模；常微分方程；素質教育

數學建模是一個相對復雜的過程，其目的就是分析、描述模型內的關系、規律等，進而構建出一個科學、準確的數學關系，并能夠轉化成相應的數學問題，使用數學系統和數學知識進行解答，對現實問題作出解釋.為此，應用微分方程對實際問題進行抽象，并在此基礎上構建數學模型，能夠演示數學模型，雖然過程較為復雜，但是在結果上則非常簡明，使解釋過程更為直觀、明朗.

一、在人口普查中的應用

數學建模可以根據劃分標準的不同，演變出不同的分法，例如，可以按照已經建立的分類法劃分，將數學模型劃分為：初級模型、規劃模型、微分方程、統計概論方程等.實際生活中，使用微分方程理論可以構造，出動態模型，對事物演化的時間進行預測，進而掌握到最有效的方法.

隨著人口的不斷增長，人口普查成為一項繁重的工作，即使能源不斷增多，但能源儲量卻在不斷減少.為此，世界上大部分國家都在努力控制人口增長，中國實施的計劃生育也有30多年的歷史.而人口遷移、自然災害等都會影響到人口預測模型的變量構建，而在模型構建上還必須考慮這些變量，無形中為工作人員增加了工作負擔.為此，數學建模中使用微分方程能夠建立起因子模型，并對其進行不斷完善，進而得到最準確的模型.

建模前要先進行數據收集，比如，按照某國100年嬰兒出生量制作統計表；首先，進行數據分析：通過分析將人口的出生率設為不變量，并建立起馬爾薩斯人口模型.再針對問題提出假設：在自然條件不變的情況下，人口相對穩定，比例設為r.最后將問題轉化為數學問題，構建出人口與時間的變化關系式.

解 將時間設為t，人口設為N（t），N（t）會隨著時間的變化而變化，按照上面的分析作出假設，在t到了（t+Δt）時刻時，人口的增長量為：

N（t+Δt）—N（t）=rN（t）Δt.

假設t=t0，則N（t）=N0可以將方程設為：

N（t0）=N0，Dndr=rN.

對這個模型進行求解，最終可以獲得人口隨時間變化的指數關系.

第三步就是將模型應用到實際問題中，并對其進行檢驗.使用馬爾薩斯模型能夠對人口作出準確預測，得出了人口增長率、未來幾年人口數量等.

二、在工程領域中的應用

懸鏈線問題是工程開展當中常會遇到的問題.具體見下圖所示，該位置具有一個均勻的電纜線，電纜線質地柔軟，韌性較強，將其懸掛在A、B兩點位置處，利用重力作用使其一直保持平衡狀態，進而構建出曲線方程.

圖1 懸鏈線

這一問題最初是由科學家提出來的，分別是James Bernoulli（詹姆斯·貝努利）與Galileo（伽利略），兩位科學家對這一問題以拋物線形式進行了猜想，但是得出的結論不準確.但最終依然被James Bernoulli求解了.懸鏈線被廣泛應用在了工程領域.

將曲線方程設為y=y（x），p表示懸鏈線單位長度所受的重力，取曲線上的任意一點P（x，y）位置處，該位置處的張力由T（x）表示，得出了該處切點與x軸的夾角值，進而得出：

T（x）cos[θ（x）]，T（x）sin[θ（x）].

表示的是P點的水平張力與垂直張力.

再依據以上內容設P在點x處的增量，增量用dx表示，則Q點橫坐標表示為x+dx，隨著懸鏈線的重力不斷下降，水平位置處會有：

T（x）cos[θ（x）]=T（x=dx）cos[θ（x+dx）].

進而，懸鏈處于平衡狀態時，張力在任意一點處相等，可以將懸鏈線上的某水平張力常數表示為：

T（x）cos[θ（x）]=H，H∈R.

通過將上述這些公式帶入求解，能夠最終得到的懸鏈線方程為：

y=HpchpH（x-x0）+h-Hp.

將懸鏈線使用在高壓架空線路中是非常常見的，對兩座相鄰的、距離相等的鐵塔進行擬設，垂直度設為a，結合上述方程，則最終的坐標表示如下：

圖2 高空架設

等到假設出來的懸鏈線與某頂點相互垂直，則可以將其看成是一段拋物線，為此，工程中能夠將這一拋物線當成懸鏈線使用，其中，p表示的是該線段上的重力值.H值可以表示為：

y=HpchpHx-Hp.

三、電工學方面的應用

一個電路與機械裝置包含了擴音器與永磁體，其模型就是一個常微分方程.具體如下圖3所示

圖3 擴音器模型

一個變電源電壓E（t）能夠驅動音圈轉換器，進而將系數轉換為T，再通過轉換器推動揚聲器的振動膜振動.音圈是組成能換器的重要部件，其實質是在永磁場內運行.一旦出現過多的變化電流經過音圈，音圈將在電流與磁力作用下運行.可以用f表示的是揚聲器與轉換器間的相互作用力，而R表示電阻器，L為轉換的感應系數.c表示的是阻尼系數，k表示彈簧的彈性系數，T與變量間的相互關系式為：

e=Tdx[]dt，f=-Ti.

E表示是音圈兩端存在的電壓值，x表示音圈位移，運用牛頓二定律與回路電壓定律進行計算，可以得出的微分方程為：

md2x[]dt2+cdx[]dt+kx=Ti，

Tdx[]dt+Ldi[]dt+Ri=E（t），

可以看出，通過設C這個任意常數量，能夠對音圈位移x進一步求解，其與轉換器電流i可以表示為：

使用常微分方程解決了電工學中各種復雜的問題，能夠使參數提取、關系構建更為直觀、有效，對基礎模型建立有重要意義.

結束語

本文主要對數學建模中常微分方程在不同領域中的應用，通過上述這些應用實例表現了建模中微積方程的作用，在不同領域中提供了建模支持.

【參考文獻】

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