數123456789的奇妙性質及其推廣

田甦文 田雨

【摘要】通過數123456789（和987654321）的一個奇妙性質入手，我們提出了一個相當一般的關于一類乘積中數字出現規律的猜想.

【中圖分類號】O156.1

也許很少人注意到，數123456789有一個非常有趣的性質，而且由此還可以發現其他一些相關的奇妙現象.這些現象都只涉及最基本的整數運算，但是據我們了解還沒有人發現過.

最簡單的情況，就是把123456789直接乘以一個數字（從1到9），結果如下：

也就是說，除了3、6、9這三個能被3整除的數字外，其他數字跟123456789相乘得到的結果，其各位數仍然是123456789這9個數字的不同排列（既無重復也無遺漏），但其具體排列順序似乎并無明顯的規律.

由于123456789乘以9時得到的已經是10位數，因此乘以更大的數時顯然不可能再是123456789這9個不同數字的排列.但是，123456789乘以10得到1234567890，如果把數字0也算上的話，仍然是所有10個數字的排列（實際上123456789本身也可以看成0123456789）.這就提示我們，如果把123456789乘以更大的數時，是否也有類似的規律出現呢？

首先做一個簡單的分析，

123456789 * 81=9999999909，顯然當所乘的數大于81時將會得到一個11位數，總共10個數字不可能沒有重復.因此，原則上我們可以觀察123456789乘以從11到80的所有整數，看看結果是否出現10個不同數字的排列.這里我們僅僅列出從11到30的結果：

當乘以3的倍數時都得不到想要的結果，自不必說，但是當乘以19時出現了第一個例外（出現了兩個9而沒有0），后來的28和29同樣出現了數字重復和遺漏的現象.而從31到80，這樣的例外情形總體來說逐漸增多，但仍有相當部分的相乘結果是10個不同數字的排列，這里就不再贅述.

無獨有偶，除了123456789之外，數987654321也有類似有趣的性質，但由于該數較大，當乘以大于10的整數時已經得到11位數，所以這里只考察乘以1到10的結果：

同樣是除了3的倍數以外，乘以其他整數得到的結果均為0123456789這10個不同數字的排列.

這樣一個自然的問題就是，除此之外還有沒有別的數也有類似的性質呢？如果我們簡單地對前面兩個數做一個減法：

987654321-123456789=864197532，

很湊巧結果同樣是123456789這9個不同數字的排列.但是864197532這個數的性質就不像前面兩個數這么有趣了，除了乘以較小的幾個數可以得到類似的結果，其他情況下一般不再具有這種性質.另外，

9876543210-123456789=9753086421，

雖然結果湊巧也是0123456789這10個不同數字的排列，但是由于該數較大，只要乘以2就會超過10位數字，因此不可能再做進一步的考察.雖然我們沒法窮盡所有的情況，但是到目前為止還沒有發現其他與123456789和987654321性質同樣好的9位數（或者10位數）.不過這些在相減的情形同樣得到9個（或者10個）不同數字排列的現象本身也是有趣的，如

987654321-123456789 * 3=617283954，

9876543210-123456789 * 3=9506172843，

等等，但是由于很難總結出一般的規律，我們就未做進一步的研究了.

如果不局限于9位（或者10位）數，那么還可以找到更一般的有趣性質.用112233445566778899代替123456789，首先可以注意到

112233445566778899 * 98=10998877665544332102，

112233445566778899 * 99=11111111111111111001，

其中前一式的結果中0123456789這10個數字剛好每個數字也是出現兩次，這是我們希望看到的性質；而后一式的樣子完全類似于前面123456789乘以9的式子.一般地，可以驗證112233445566778899乘以從1到100的所有整數，除了乘數可以被3整除的情形，結果中0123456789這10個數字剛好每個數字都是出現兩次.這里我們只列出乘數從2到19的結果：

當乘以大于100的整數時，出于位數的限制最大可以到

112233445566778899 * 890=99887766554433220110，

112233445566778899 * 891=99999999999999999009，

其中可以預期也會出現類似于123456789乘以19這樣的反例，但我們未做進一步的考察.

如果用998877665544332211代替987654321，那么類似地，當乘以大于100的整數時已經得到21位數而無需考察，同樣可以驗證998877665544332211乘以從1到100的所有整數，除了乘數可以被3整除的情形，結果中10個不同數字剛好每個數字都是出現兩次.這里我們只列出乘數從2到19的結果：

此處不再贅述.

容易想到，上述規律可以進一步推廣到111222333444555666777888999和999888777666555444333222111乘以從1到1000的所有整數，甚至更高位數的情形.在這些情形單靠人力很難做徹底的驗證，但是對于我們隨機抽樣到的情形（除了乘數可以被3整除），上述有趣的性質都是保持的.

基于上述研究，最后我們提出一個普遍的猜想：形如11…122…233…3……88…899…9和99…988…877…7……22…211…1（其中123456789每個數字均出現n次）的數乘以從1到10n的所有整數，除了乘數可以被3整除的情形，得到的結果中10個不同數字剛好每個數字都是出現n次.希望有人能證明這個猜想.