論數學中的統一美

祁玉海

【摘要】羅素說：“數學，如果正確地看，不但擁有真理，而且也具有至高的美”.馬克思說：“社會的進步就是人類對美的追求的結晶”.數學是自然科學的語言，它具有一般語言文學與藝術所共有的美的特點，即數學在其內容結構上、方法上都具有自身的某種美，即所謂的數學美.數學美是具體的、形象的、生動的.數學美包括數學的簡潔美、數學的和諧美和數學的奇異美三個方面，數學的統一美是簡潔美的集中體現.本文將結合幾個簡單的實例，談談關于數學統一美的一些淺顯的見識.

【關鍵詞】數學 統一美

將數學作為一個有機的統一體的觀念貫穿了整個數學的發展，尋求不同數學理論之間的內在統一性是現代數學家孜孜以求的目標之一.英國著名的數學家阿蒂亞曾有論斷：“經過半個世紀的急劇專業化發展，核心數學家在發現不同部分之間深層聯系的基礎上正經歷一次重新統一的復興.”從較早的笛卡爾將幾何與代數統一于坐標系開始，數學一直在追求更高層次，更高階段的統一.

數學在近代的發展是一部不斷產生新的理論，不斷產生新的分支，不斷與其他學科交融而形成交叉學科的歷史.從牛頓和萊布尼茨創立微積分開始，之后就開始出現無數的新興的分支和理論，比如說：非歐幾何、集合論、拓補學、數理邏輯等.據統計，在數學學科的核心范圍內，已經有將近100種可以辨認的分科.如此之多的數學分支，各個分支又是相當地高深廣博，數學的統一性又是如何體現呢？其實數學的統一性不僅僅表現在統一的數學符號和共同的數學語言，更表現在其內在的本質聯系.

1.歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何在高斯曲率的觀點下統一成一種幾何.

高斯證明了：

若曲面S上每一點的高斯曲率均為定實數k，在S上任作一個測地三角形，其三個內角分別為α1，α2，α3，測地三角形面積為E，則有

α1+α2+α3=π+kE或E=1k（α1+α2+α3-π）

k值決定曲率曲面S上的幾何學：

k>0所得的幾何是黎曼幾何學；

k=0所得的幾何是歐幾里得幾何學；

k<0所得的幾何是羅巴切夫斯基幾何學.

另外，從射影幾何的角度用線段交比去定義線段長度和角的大小，也可以得到與前面類似的結論，即三種幾何只不過是因某個參數k的符號不同而不同罷了.由此，三種幾何都具有相對的真理性，即它們只在一定的范圍內才可正確地描述物質空間的某些現象.綜上所述有下表：

幾何體系

3.球、球缺、球臺、柱體、椎體、臺體等立體幾何體的體積公式可統一到擬柱體體積公式.

V=h6S1+S2+4S0擬柱體體積 V球=43πr3V球缺=πh2r-h3V球臺=兩球缺之差V柱體=ShV椎體=13ShV臺體=h3S1+S2+S1S2

上面的擬柱體公式又和統籌方法中的“三時估計法”具有類同的表達形式：

t=16a+b+4m

其中t為完成工作時間，a為完成工作的保守時間，b為完成工作的最樂觀時間，m為完成工作的最可能時間.

4.概率分布問題中，負指數分布、正態分布、確定性分布統一在k階埃爾朗分布中.

k階埃爾朗分布的概率密度為

bk（t）=kμ（kμt）k-1（k-1）！e-kμt（t≥0，μ>0）.

當k=1時，為負指數分布；當k≥30時為正態分布；當k→∞時為確定型分布.

5.牛頓-萊布尼茨公式 ∫baf（x）dx=F（b）-F（a）展現了微積分內部幾大運算：微分、不定積分、定積分之間強大的內在聯系.三者統一于這個公式之中.幾個看似毫無關系的東西，它們的誕生為的也是不同的數學目的，最初解決的也是不同方面的問題，最后居然能聯系起來，能統一計算.牛頓-萊布尼茨公式使得原來通過求黎曼和的極限的困難運算一下子變得簡單了.而正式這樣的統一，推進了微積分的發展.

6.第一型曲線積分、第二型曲線積分、第一型曲面積分、第二型曲面積分、三重積分統一在斯托克斯公式中.

斯托克斯公式∮cPdx+Qdy+Rdz=sdydzxP dxdzyQ dxdyzR

=sRy-Qzdydz+Pz-Rxdzdx+Qx-Pydxdy

DQx-Pydxdy=∮ΓPdx+QdyΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=ΩPx+Qy+RzdxdydzΣPdydz+Qdxdz+Rdxdy=ΣPcosα+Qcosβ+Rcosγdσ∫cPdx+Qdy+Rdz=∫cPcosα+Qcosβ+Rcosγds

7.牛頓-萊布尼茨公式與格林公式的統一

牛頓-萊布尼茨公式 ∫baf′（x）dx=f（b）-f（a）指出，函數f′（x）在區間[a，b]的定積分等于被積函數f′（x）的原函數f（x）在區間[a，b]端點（或邊界上）的值的差.若將在[a，b]上連續的一元函數f（x）看成是在矩形區域D=[a，b]×c，d上連續的二元函數，則由格林公式DQx-Pydxdy=∮ΓPdx+Qdy

有Df′（x）dxdy=∫Cf（x）dx

即∫baf′（x）dx=f（b）-f（a）.從這個意義上說，格林公式是牛頓-萊布尼茨公式在二維空間的推廣.

數學是人們所有的特殊認識工具和符號語言，如同人的物質工具一樣，但它以最純粹的形式體現了人的認識的主觀能動性.這種認識能動性，從哲學上看，又仍然是人類實踐能動性的高度抽象化的反映.從而數學的統一性，在最根本的意義上，無疑是來自于抽象化了的實踐活動（勞動操作）的統一性與普遍必然性.也正因為數學具有如此深刻的實踐根基，才可能在人類的社會進程中發揮出如開篇所述的巨大力量來.

【參考文獻】

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