平面上的向量與點不加區別的代數解釋

方又超

【摘要】xOy平面上的既有方向又有大小的向量和該平面上的點是兩個不同的幾何對象，在初等數學中它們不加區別，甚至在大學的解析幾何中對它們也不加區別.用歐氏空間的同構理論可解釋xOy平面上的向量和該平面上的點不加區別的數學處理方法是合理的.

【關鍵詞】xOy平面；向量；點；歐氏空間的同構

一、引 言

首先指出文中的平面是建立了笛卡爾直角坐標系的xOy平面.在初等數學中處理xOy平面上的既有方向又有大小的向量時，建立了平面上的向量與平面上的點之間的一一對應關系，利用了一個描述性的結論：“平面上的既有方向又有大小的向量與平面上的點不加區別.”按照這一結論，如圖所示，

五、結 論

同構的歐氏空間本質上是一樣的，它們具有相同的結構.去掉元素的形式外衣，只著眼于運算方式，V2與R2的運算方式相同，且幾何度量方式一樣；在V2中由向量的運算及由幾何度量決定的結論如果成立，相應的結論在R2中也一定成立，反之亦然.因而我們可以把V2中由向量的運算及由幾何度量決定的性質的問題轉化到R2中探討，把V2中的向量α=aε1+bε2簡記為α=（a，b），這不會引起任何邏輯上的矛盾，是合理的.同理可得歐氏空間V3與歐氏空間R3同構，V3中的向量與V3中的點