勇于質疑 善于探索

劉創林

一、問題的背景歷年高考試題無論是全國卷還是各省市試卷之中的圓錐曲線題目形式多樣，既有小題又有大題；題目分值高，占試卷總分比例大；難度很大，易于區分學生能力檔次.因此，總是引起廣大師生關注.很多優秀學生對圓錐曲線題目有著濃厚的興趣，一方面他們喜歡挑戰難題，提升自己的思維能力和水平，另一方面是希望提高解答圓錐曲線題目能力，期待在高考有所突破，達到提升總分目標；成績普通的學生對圓錐曲線的題目普遍存在畏難情緒.本文對2013年全國高考浙江理科卷的第15題進行深入細致的剖析，給出研究圓錐曲線的一般方法和技巧，對學生解決相關問題具有示范作用.題目中指明直線和拋物線有兩個交點A.B，并且兩個交點存在中點Q.先通過運算推理，說明不存在兩個交點，再分析探討題目，接著從兩個方面改造題目，進一步研究直線與拋物線的位置關系，最后推導出一個較好的結論.

二、問題的探究

（一）浙江高考試題的提出

設F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點P（-1，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點，點Q為線段AB的中點.若|FQ|=2，則直線l的斜率等于多少？

（二）浙江高考試題的分析

首先設過點P（-1，0）的直線的方程：y=k（x+1）y=k（x+1）.

聯立直線方程和拋物線方程：y=k（x+1），y2=4x.

化簡整理得：k2x2+2（k2-2）x+k2=0.（1）

易知：k≠0.

由（1）式可得：Δ=4（k2-2）2-4k4=16（1-k2）.（2）

設直線l與拋物線C的交點坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為Q（x0，y0）.

由題意易知：y1=k（x1+1），y2=k（x2+1）.

結合（2）式和韋達定理可知：x1+x2=2（2-k2）k2.

所以y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）=k2（2-k2）k2+2=4k.

由中點坐標公式可知：x0=x1+x22=2-k2k2，

y0=y1+y22=2k.

所以點Q的坐標為Q2-k2k2，2k.

由拋物線C：y2=4x易知焦點坐標為F（1，0）.

由兩點間距離公式可知：|QP|=2-k2k22+2k-02=2.

化簡整理，得：k2=1，即k=±1.

將k=1帶入Δ=16（1-k2）=0，即直線與拋物線方程相切.

可知：直線與拋物線相切，切點坐標為（1，2）.這顯然與題設中有兩個交點相矛盾.

當k=-1時結果相同，推出矛盾.

（三）浙江高考試題的改造

由Δ=16（1-k2）可知：

當-1

當k=±1時，直線與拋物線相切，有且只有一個交點.因此，可以從以下兩個方面進行改造：

1.直線與拋物線有兩個交點

首先取k=22∈-1，1，再代入Q2-k2k2，2k，得Q（3，22）由兩點間距離公式可求：

QF=（3-1）2+22-02=23.

至此，浙江高考題可以做如下改造：

設F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點P（-1，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點，點Q為線段AB的中點.若|FQ|=23，則直線l的斜率等于多少？

由前面分析易知k=±22.當然在改造過程中還可以選取（0，1）之中的其他數值.

2.直線與拋物線相切

當直線l與拋物線C相切時，浙江高考題可以做如下改造：設F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點P（-1，0）的直線l與拋物線C于點Q時，則直線l的斜率等于多少？

由前面分析知直線l與拋物線C于A，B相切與點Q時k=±1，|FQ|=2.

在平面直角坐標系中存在這樣數量關系：OP=OF=|FQ|2=p2（p為拋物線的焦距）.

順著這個發現，接著修改題目數據.修改如下：

設F為拋物線C：y2=8x的焦點，過點P-2，0的直線l與拋物線C于點Q時，則直線l的斜率等于多少？經過推理演算可以得到：k=±1，OP=OF=|FQ|2=p2（p為拋物線的焦距）.

至此，論文結束.