數學逆向思維的心里特征與教學應用

羅志泉

【摘要】逆向思維在中學數學的教學中占有很重要的地位，逆向思維有何特點，在教學中又怎樣結合教材對學生進行逆向思維訓練呢？本文就這個方面的問題說出了自己的做法.

【關鍵詞】逆向思維；雙向性思維訓練

在現實生活中，歷史上“司馬光砸缸”的故事可說是婦孺皆知，三十六計中的“聲東擊西”、“空城計”、“欲擒故縱”等也是家喻戶曉.這些典故從思維的角度來分析，都是逆向思維形式的典型代表，它們之所以被人民千古傳頌，是由于逆向思維往往起到突破性的、令人意想不到的效果.那什么是逆向思維呢？所謂逆向思維是指從問題的反面入手，對問題的條件、結論、背景等進行觀察、思考、分析與探索的一種思維活動.與常規思維不同，逆向思維是反過來思考問題，是突破常規思維方式去思考問題.

一、逆向思維的心里特征

蘇聯心理學家克魯捷茨的研究表明：心理過程的可逆性是指從正向思維序列轉到逆向思維序列這一意義上的思維序列方向的重建，它包括了兩個不同而又是相互關聯的過程.首先，它與只是單向起作用的單向A→B型聯想（聯結）相反，是雙向的AB型的聯想的建立.其次，它是推理中心理過程的可逆性，是一種從答案或結論到原始數據的逆向思維.

二、逆向思維的教學運用

數學上的“逆運算”、“逆映射”、“反函數”、“逆定理”、“反證法”，“反例”等等，都是逆向思維的形式.根據數學思維的心里特征，我們在教學中可從三個方面對學生進行逆向思維訓練：反例的應用、公式定理的逆用、問題的轉換.學生逆向思維的能力提高了，對基本概念會有更深的理解，思維的靈活性會更強，分析問題和解決問題的手段也會更多.

1.重視反例的作用，加深對概念定理的理解

在概念或定理的教學中，學生往往對新的概念或定理不能透徹地理解，看不清或根本就不看概念或定理的一些附加條件，造成理解和運用的錯誤.教學時我們就要重視反例的作用了，適當利用反例幫助學生深入地理解相關概念.

反例的作用是“短平快”，具有很強的說服力，在數學研究和解決較難問題時更是經常使用.數學家費馬曾給出猜想：“n為非負整數時，一切形如22n+1的數是素數.”這個猜想讓很多人費盡心思，后來歐拉給出了反例，推翻了費馬猜想：

225+1=232+1=4294967297=641×670041.

不用說一句話，一個簡單的式子就解決了問題.在高考中，也不乏利用反例來解決問題的例子，它給考生節省不少保貴的時間.

例1 （2002年上海高考理工科）

規定Cmx=x（x-1）…（x-m+1）m！，其中x∈R，m是正整數，且C0x=1，這是組合數Cmn（n.m全是整數，且m≤n）的一種推廣.組合性質：Cmn=Cn-mn是否能推廣到Cmx（x是實數，m是正整數）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并證明：若不能，說明理由.

分析 x∈R，m，x-m∈Z，但x∈R、m∈Z時，x-m一定是整數嗎？顯然不能！如：x=53，m=1，C53-153=C2353 無意義.

所以，Cmn=Cn-mn不能作滿足條件的推廣.

從上面幾例可以看出，教學中適當使用反例的必要性，培養學生應用反例解決問題的能力的重要性.

2.注重公式的逆用和逆命題的探討，認清命題的本質

（1）數學公式的逆用，更能讓學生充分地理解和記憶公式，認清公式的本質.如三角函數部分，要記的公式比較多，多加強逆用或變用公式的訓練，對培養學生思維的靈活性會大有益處.教學中我們發現學生常對sin2α+cos2α=1記得很熟，但對“1”用sin2α+cos2α進行代換就不會運用，類似的還有形如：

1+tan15°1-tan15°=tan60°，sin47°cos73°+sin43°cos17°=sin120° 等等的問題.逆用公式多了，學生自然會對公式有更深的理解.

例2 已知，tanαtanα-1=-1，求sin2α+sinαcosα+2的值.

分析 由已知可得tanα=12，

sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosαsin2α+cos2α+2=tan2α+tanαtan2α+1+2=135.

（2）適當訓練學生對數學命題的逆命題進行探討，對培養學生的逆向思維能力，提高解題水平有很大幫助.

例3 證明向量OA，OB，OC的終點A，B，C共線，則存在實數λ，μ，且λ+μ=1，使得OC=λOA+μOB.

分析 由于A，B，C共線，AB∥AC，AC=tAB.

OC-OA=t（OB-OA），OC=（1-t）OA+tOB.

設1-t=λ，t=μ，得OC=λOA+μOB.

完成這題的證明學生不是很難，但完成后教師如果引導學生對它的逆命題時行討論，發現逆命題也是成立的，這樣學生就會對這個問題有更高的認識了，而且映像很深，對以這個命題為背景的問題的解法也就會運用自如.如解下列題：“三角形ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，則λ=.”學生會很快得出λ=23.

3.從結論出發，轉換問題，提高解題能力

逆向思考轉換問題包含了數學解題的分析法，反證法，轉換命題等方法.如果運用得當，會讓學生體會到學習數學的真正快樂.

三、結束語

逆向思維能力不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維品性，提高學習效果、學習興趣，及提高思維能力和整體素質.在數學教學中必須充分認識逆向思維的重要作用，并結合教材自身的內容，注重對學生逆向思維能力的培養，不斷完善學生的綜合知識，以便能夠更好地完成既定的教學目標，最終達到激發學生的創造精神、提升學生的分析能力的目的.