例談變量分離解決恒成立問題

李勇

【摘要】在含參變量的某些與函數、數列、方程和不等式有關的恒成立的問題中，解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想.

【關鍵詞】恒成立問題；變量分離；等價轉化

含參變量恒成立的問題，是近幾年高考熱點，它往往以函數、數列、方程、不等式等為載體具有一定的綜合性，如能將變量分離出來，問題則化難為易，化繁為簡，從而迎刃而解.

一、函數問題

五、主次變量問題

例5 對于|p|≤2的所有實數P，求使不等式x2+px-1>2x+p恒成立的x的取值范圍.

解 將變量分離，有x2-2x-1>p（1-x）.當1-x>0時，p2，即x2-2x-1>2-2x. 又x<1，∴x<-3同理當1-x<0時，有x2-2x-11-x2+3.

綜上，所求x的取值范圍是x<-3或x>2+3.

小結 1.恒成立問題，往往通過變量分離后可達到如下形式：

a≥f（x）恒成立a≥f（x）max；a≤f（x）恒成立a≤f（x）min.

2.解決這問題的步驟是：

（1）從F（x，p）>0出發，將x與p分離，寫成g（p）<φ（x）或g（p）>φ（x）的形式；

（2）在x∈[a，b]上求φ（x）的最大值M或最小值m；

（3）解不等式g（p）M，所得解集就是參變量p的取值范圍.