復合函數的單調性

鄒少偉

復合函數單調性在高中數學中應用廣泛，但現行教材中卻沒有推證，有些輔助刊物中的證明又過于繁鎖，大多數的教學參考書也只是給出結論而已，其實下面的推導還是容易接受的.

首先給出函數單調性的一個等價定義：設D是函數y=f（x）定義域上的一個子區間，對于任意x1，x2∈D，當x1≠x2時，都有：（x1-x2）（y1-y2）>0（或<0），其中y1=f（x1），y2=f（x2），我們就稱y=f（x）在D上嚴格單調遞增（或遞減），根據函數單調性的定義容易驗證該結論成立，這里證明從略.從此定義可知，函數值對應增量和自變量增量同號為增函數，異號為減函數；反之亦然.

注：上述定義中，如果存在當x1≠x2時y1=y2，則y=f（x）在D上不是嚴格單調，需要把D細分.

下面我們來證明復合函數y=f（φ（x））的單調性，設復合函數由y=f（u）和u=φ（x）復合而成，令u1=φ（x1），u2=φ（x2），y1=f（u1），y2=f（u2）.

（1）如果內外層函數單調性相同，則（x1-x2）（u1-u2）和（u1-u2）（y1-y2）同號，且都不為0，所以（x1-x2）（u1-u2）2（y1-y2）>0，又（u1-u2）2>0則（x1-x2）（y1-y2）>0故復合函數單調遞增.

（2）如果內外層函數單調性相異，則（x1-x2）（u1-u2）和（u1-u2）（y1-y2）異號，且都不為0，所以（x1-x2）（u1-u2）2（y1-y2）<0，又（u1-u2）2>0，則（x1-x2）（y1-y2）<0，故復合函數單調遞減.

最后讓我們看幾個應用的實例：

例1 求函數y=x4-3x2+2的單調區間.

解 令u=x2則y=u2-3u+2，原函數由它們復合而成.內層單調性分界點x=0，外層單調性分界點u=32.由x2=32得x=±62.

當x<-62時，x2>32，內層減，外層增，原函數遞減；

當-62≤x<0時，x2≤32，內層減，外層減，原函數遞增；

當0≤x<62時，x2<32，內層增，外層減，原函數遞減；

當x≥62時，x2≥32，內層增，外層增，原函數遞增.

故函數遞增區間有-62，0和62，+∞，遞減區間有-∞，-62和0，62.

注：對復合函數的單調性，同學們要特別注意內外層區間的對應關系.

例2 已知a>0且a≠1，試討論函數f（x）=ax2+6x+17的單調性.

解 令內層u=x2+6x+17，則外層為f（u）=au.內層在（-∞，-3]遞減，在（-3，+∞）遞增；外層當a>1時遞增，當01時，在（-∞，-3]遞減，在（-3，+∞）遞增；

當0

例3 若函數y= loga（2-ax）在[0，1]上是減函數，則a的取值范圍是（ ）.

A.（0，1） B.（0，2） C.（1，2） D.（2，+∞）

解 因為a>0，則內層u=2-ax在[0，1]遞減，又復合函數y=loga（2-ax）在[0，1]上是減函數，則外層y=logau是關于u的增函數，所以a>1；又2-ax>0在定義域上恒成立，且內層u=2-ax遞減，故只需x=1處成立，則2-a>0，即a<2，所以1

注 討論函數單調性，大家千萬不要忽視函數的定義域.

從以上討論可知，復合函數的單調性其實質還是變量增量符號的乘積運算（同號相乘得正，異號相乘得負），簡單記為四個字“同（內外層單調性相同）增異（內外層單調性不同）減”.對于多層可類推，需要注意的是函數定義域和內外層的對應關系不能錯漏.