萬(wàn)能公式的4種證明方法萬(wàn)

蔣頡

一、題目再現(xiàn)

求證：sinα=2tanα21+tan2α2 這就是萬(wàn)能公式，下面給出4種證明方法.

二、證明方法

證法一 從左到右，弦化切.

左邊=2sinα2cosα2=2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2，

分子分母同時(shí)除以cos2α2，則左=2tanα21+tan2α2=右.

證法二 從右到左，利用高中數(shù)學(xué)人教版A版必修4第3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換.

練習(xí)1的結(jié)論tanα2=sinα1+cosα和半角公式.

右邊=2sinα1+cosα1+1-cosα1+cosα=2sinα1+cosα+1-cosα=sinα=右.

證法三 從右到左，切化弦.

右邊=2sinα2cosα21+sin2α2cos2α2=2sinα2cosα2cos2α2+sin2α2=sinα=右.

證法四 利用高中數(shù)學(xué)人教版A版必修4第3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換 練習(xí)1的結(jié)論. tanα2=1-cosαsinα和正切二倍角公式證明：

∵1+tan2α22tanα2=1-tan2α2+2tan2α22tanα2=1-tan2α22tanα2+tanα2=1tanα+tanα2=cosαsinα+1-cosαsinα=1sinα.

兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：sinα=2tanα21+tan2α2.