破解橢圓中最值問題的常見策略

武晨

【摘要】橢圓是圓錐曲線中最重要的內(nèi)容，不管是在高考還是對口單招的考生中都占有重要比重，考察內(nèi)容基本都以解答題為主，是考察的一個(gè)重點(diǎn)同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn).本文通過典型例題的剖析與解答，旨在探索一般的解題策略.

【關(guān)鍵詞】橢圓；最值；策略

有關(guān)圓錐曲線的最值問題，在近幾年的高考和對口單招的試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重.圓錐曲線最值問題具有綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)面廣而且常含有變量的一類難題，也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決.

第一類：求離心率的最值問題

破解策略之一：建立不等式或方程

解決橢圓的最值問題，不僅要用到橢圓定義、方程、幾何性質(zhì)，還常用到函數(shù)、方程、不等式及三角函數(shù)等重要知識(shí)，綜合性強(qiáng)，聯(lián)系性廣，策略性要求高.其基本的思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，基本策略主要是代數(shù)和幾何兩個(gè)角度分析.由于橢圓是幾何圖形，研究的量也往往是幾何量，因此借助幾何性質(zhì)，利用幾何直觀來分析是優(yōu)先選擇；但幾何直觀往往嚴(yán)謹(jǐn)性不強(qiáng)，難以細(xì)致入微，在解析幾何中需要借助代數(shù)的工具來實(shí)現(xiàn)突破.幾何方法主要結(jié)合圖形的幾何特征，借助橢圓的定義以及平面幾何知識(shí)作直接論證及判斷；代數(shù)方法主要是將幾何量及幾何關(guān)系用代數(shù)形式表示，通過設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線的方程，將目標(biāo)表示為變量的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再借助函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)解決問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]程宏詠.剖析橢圓中最值問題的幾個(gè)視角[J].新高考，2008（01）.

[2]鄭日峰.多元條件最值問題的常見策略[J].新高考，2007（05）.

[3]劉彬.解析幾何中面積最值問題的常見解題策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（10）.