對一道圓錐曲線題學生錯解的思考

廖開燦 湯強 張波

【摘要】圓錐曲線是高中生必學和高考必考的內容.通過對圓錐曲線內容的學習，高中生能夠擴展自己的知識領域，并加深對高中數學知識體系的理解.對一道看似簡單但學生易錯的圓錐曲線題的辨析，有利于教師把握學生學習圓錐曲線的難點、障礙點，進而推進教學的針對性.

【關鍵詞】圓錐曲線；錯解

1.一道圓錐曲線問題的學生錯解

實數a為何值時，圓x2+y2-2ax+a2-1=0與拋物線y2=12x有兩個公共點？

解 x2+y2-2ax+a2-1=0y2=12xx2+12-2ax+a2-1=0，12-2a2-4a2-1=0，得a=178.

2 學生錯解分析

此題中學生的錯誤有以下幾處：

（1）聯立后得到的方程x2+1[]2-2ax+a2-1=0漏掉了x的范圍x≥0；（2）判別式運用不當；（3）書寫不規范.

顯然，（1）的錯誤是由于學生沒有發現“y2=12x”所蘊含的“x≥0”這個條件，學生的邏輯思維欠缺導致的，這個錯誤可能會導致a可以取得更多的值.（2）的錯誤在于該生沒弄清聯立后的這個含參的一元二次方程應該有幾個解，有幾個什么樣的解.該生只知道解這類題的大致思路和步驟，他對解這類題的具體方法掌握不夠，并且他對為什么要聯立，為什么要用判別式等本質問題的理解不到位.這種錯誤對于此題較為典型，本質上反映了一些學生的學習立足于記題型、照著做，忽略了對圓錐曲線本質問題的分析，尤其是解圓錐曲線題常用的數形結合等思想方法的學習.可能有人會認為（3）的錯誤并不嚴重，然而書寫凌亂直接反映的是學生思路的凌亂，反之，規范的書寫卻有利于學生思維的展開，因而筆者認為（3）的錯誤應該值得我們關注，日常教學中對它的糾正應該成為學困生轉化的一種有效途徑.

3.正確解法

解 聯立x2+y2-2ax+a2-1=0，y2=12x.

得x2+12-2ax+a2-1=0x≥0①

由題意知：①式有且僅有一個正數解.

即：方程x2+1[]2-2ax+a2-1=0②有兩個相等的正數解或者有一個負數解和一個正數解.

1.當②式有兩個相等的正數解，

12-2a2-4a2-1=0，2a-12>0，a2-1>0.解得a=178.

2.當②式有一個負數解和一個正數解，

12-2a2-4a2-1>0，a2-1<0.解得-1

綜上所述，a∈（-1，1）∪17[]8.

4.解題教學分析

比較正確解法與學生的錯解，我們從中可以發掘出此題有效的解題教學過程.

首先，要讓學生對本題有一個整體把握.比如，本題給出了圓和拋物線的方程，并已知兩曲線有兩個公共點，求圓中一個參數的范圍.

其次，找準此題解決的關鍵點予以強調.比如，題目中給出了兩曲線方程，并且已知兩曲線有兩個公共點，所以解題時可先由曲線方程畫出已知拋物線的圖像，再根據圓的圓心為（a，0），半徑固定為1，試著畫圓的圖像，抓住“有兩個公共點”這個條件去嘗試定性的分析參數a的情況.這樣分析，很容易看出a∈（-1，1）符合題意，并且a還有一個大于1的解.現在要求a的這個大于1的解，很容易想到要聯立兩個方程，把圖像交點的問題轉化為方程組解的問題，也就是把圖像有兩個公共點轉化成了方程組有兩個解，從而定量的去求參數a.并且結合圖像我們知道，方程組的兩個解的橫坐標相等，縱坐標互為相反數.接下來把方程組的解轉化為方程①的解，一定要注意未知量x的范圍是x≥0，并且方程①的解x只有1個而且是不等于0的，即現在的條件已經變成了方程①有且僅有1個正數解.

再有，明確此題的障礙點（易錯點）給予突破，比如，接下來我們一定會想到運用與“一元二次方程的根的個數和它的判別式之間的關系”相關的知識解題，但是學生往往會忽略這里的判別式的運用是要在方程的解沒有限制范圍時才準確的，這點用一元二次方程的求根公式x=-b±b2-4ac[]2a可以很容易說明.而這里的方程①中多出了x≥0的條件，所以接下來的一步轉化至關重要，我們需要把條件方程①有且僅有1個正數解轉化為方程②有兩個相等的正數解或者有一個負數解和一個正數解，然后分兩種情況討論，用判別式相關的知識去列式組求解參數a，最后把兩種情況得到的解集并起來.

最后，關注此題解題過程的規范書寫.使學生能夠以規范的書寫反映思維的過程、強化思維的嚴謹.

這道題目看似簡單，但實際上要做好這道題，要求學生必須熟練掌握高中階段最重要的四種數學思想：數形結合的思想、函數與方程的思想、轉化與劃歸的思想、分類討論的思想.并且，這道題目在考查學生數學基礎知識、基本技能和基本思想的同時，也考查了學生對數學知識本質的理解，體現了《課程標準》中對知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀等目標的要求.而對學生錯解的辨析，有利于教師把握學生學習圓錐曲線的難點、障礙點，進而推進教學的針對性.