走出無窮級數的幾個解題誤區

劉孟 龍蓉

【摘要】無窮級數是高等數學中非常重要的教學內容，同時是高職高專類學生專升本和本科學生考研中必考的數學知識，因此，無窮級數的學習不扎實直接影響到學生專業課的學習和繼續深造.本文對無窮級數的概念、性質、斂散性及收斂區間等問題進行整合，利用歸納、舉例的方法分析了關于無窮級數的解題誤區，以便在教學過程中取得良好的教學效果，同時使學生學生輕松的掌握無窮級數的教學內容和解題方法.

【關鍵詞】無窮級數；解題誤區

在無窮級數一章中，從數項級數到函數項級數，再到冪級數展開與求和，所涉及的知識點密集，定理定義及判定方法多至應接不暇，所以學生在學習過程中感到十分吃力，尤其是在做題的時候更是感覺掌握了定理和審斂方法卻對題目無從下手，看了答案后才有種“山窮水復疑無解，看答案后見真知”的大徹大悟.筆者根據教學過程中遇到的問題，將關于無窮級數的一些錯誤命題和方法進行整理、分類，以便學生在做題的過程中避免發生類似的錯誤，并更好地掌握級數相關的概念和解題方法.

一、主觀臆斷，想當然耳

錯誤命題1：若∑∞n=0an發散則limn→∞an≠0.

在判定級數的斂散性時，一般項an是否趨于0可以作為初審條件，一般項an不趨于0是級數發散的充分條件，一般項an趨于0是級數收斂的必要條件.對于上述錯誤命題我們可以舉出反例，即調和級數∑∞n=01n發散，但limn→∞1n=0.

錯誤命題2：若an+1an<1則limn→∞an+1an<1.

上面的錯誤經常在使用達朗貝爾比值判別法時出現，可以說是對求極限相當然的一個錯誤.例如在級數∑∞n=112n+1中an+1an=2n+12n+3<1，但limn→∞an+1an=limn→∞2n+12n+3=1，所以an+1an

的比值和極限值是不同的.在達朗貝爾比值判別法中，當極限值為1時該判別法失效.若判定級數∑∞n=112n+1的斂散性，我們可以使用極限形式的比較判別法，讓該級數與已知發散的調和級數進行比較得，這兩個級數具有相同的斂散性.

二、誤解性質，錯下結論

錯誤命題3：若一個級數加括號后收斂則該級數收斂.

給級數加括號后不改變斂散性是收斂級數的基本性質之一，其前提條件是原級數收斂，所以在使用的時候要注意條件是否滿足.對上面的錯誤命題我們可以舉例說明，例如級數∑∞n=1（-1）n-1加括號后得（1-1）+（1-1）+…+（1-1）+…是收斂的，但原級數1-1+1-1+…+1-1+…是發散的.

錯誤命題4：若兩個級數都發散則逐項相加或相減后所得的新級數發散.

根據收斂級數的性質，可以證明兩個收斂級數逐項相加或相減后所得的新級數是收斂的，一個收斂級數和一個發散級數逐項相加或相減后所得的新級數是發散的，但兩個發散級數逐項相加或相減后所得的新級數的斂散性是不確定的.

三、混淆概念，結論不清

錯誤命題5：若級數∑∞n=1un絕對收斂，則級數∑∞n=1un條件收斂.

我們首先從概念出發去理解什么是絕對收斂和條件收斂.對于任意項級數∑∞n=1un的各項加絕對值所得級數∑∞n=1un.如果絕對值級數∑∞n=1un收斂，則原級數∑∞n=1un收斂且絕對收斂；如果絕對值級數∑∞n=1un發散，而原級數∑∞n=1un收斂，則稱原級數∑∞n=1un條件收斂.由此我們可知，對于級數∑∞n=1un而言，無論是絕對收斂還是條件收斂，級數∑∞n=1un都是收斂的，只能依據絕對值級數∑∞n=1un收斂或發散來判斷.可以說絕對收斂和條件收斂是兩個相互獨立的平行概念，其間不存在充分必要關系.

錯誤命題6：若冪級數∑∞n=0anxn的收斂半徑為R，則其的收斂區間是[-R，R].

求冪級數的收斂半徑、收斂域及收斂區間是比較常見的問題，學生卻經常因收斂域和收斂區間的概念不清而導致一些錯誤.明確的說，收斂區間只是開區間（-R，R），而收斂域是指冪級數所有收斂點構成的區域，在收斂區間的端點處也有可能收斂，所以收斂域可能是以下四種情況之一：[-R，R]，（-R，R]，[-R，R），（-R，R）.根據冪級數的阿貝爾定理可知，冪級數在收斂區間內的每一點處都是絕對收斂，只有在端點處才可能是條件收斂.對于冪級數求導或求積分不改變其收斂半徑，但收斂的端點可能經過求導后會變成發散.

綜上所述，無窮級數這一章內容是高等數學教學中的一個難點，但將數項級數、正項級數、任一項級數以及冪級數的基本概念、基本性質及定理系統的歸納、整理，清晰掌握本章的知識點和解題方法，再加以適當的例題和練習是可以學好的.

【參考文獻】

[1]施金福.高等數學（下冊）[M].上海：上海交通大學出版社，2010

[2]同濟大學數學教研室.高等數學（第三版下冊）[M]6版.北京：高等教育出版社，2010.