常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

谷成玲

【摘要】微分方程模型在自然科學(xué)中的應(yīng)用主要以物理、化學(xué)、控制理論等客觀規(guī)律為基礎(chǔ)建立起來，而在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)中的應(yīng)用越來越廣泛.本文闡述常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，對(duì)以后更好地研究常微分的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】常微分方程；數(shù)學(xué)建模

1.引 言

常微分方程是許多理工科專業(yè)需要開設(shè)的基礎(chǔ)課程，常微分方程與微分方程是同時(shí)產(chǎn)生的，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，在物理、天文、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、通信工程及航空航天技術(shù)等諸多領(lǐng)域都有重要的作用.

數(shù)學(xué)如果想在實(shí)際中解決實(shí)際問題，就必須建立模型，而數(shù)學(xué)建模就是把數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程.利用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際問題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分重要的一步，但是也是最困難的一步.建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程.要通過大量調(diào)查、收集相關(guān)數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題.

因此本文先介紹了數(shù)學(xué)模型和常微分方程，然后介紹如何建立微分方程模型，最后通過具體的實(shí)例來簡單地介紹了微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用.

2.數(shù)學(xué)模型簡介

通常我們把現(xiàn)實(shí)問題的一個(gè)模擬稱為模型.如交通圖、地質(zhì)圖、航空模型和建筑模型等.利用字母、數(shù)學(xué)及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等來模擬現(xiàn)實(shí)的模型稱為數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)模型在實(shí)際生活中經(jīng)常碰到，如求不規(guī)則圖形的面積，可建立定積分的數(shù)學(xué)模型，求變化率的問題可建立導(dǎo)數(shù)模型，統(tǒng)計(jì)學(xué)中抽樣調(diào)查，買彩票中獎(jiǎng)的概率問題等等.學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型對(duì)解決實(shí)際生活問題會(huì)有很大的幫助.

3.常微分方程的簡介

微分方程的發(fā)展有著淵遠(yuǎn)的歷史.微分方程和微積分產(chǎn)生于同一時(shí)代，如蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解.牛頓在建立微積分的同時(shí)就對(duì)簡單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解.后來，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程理論.

縱觀微分方程的發(fā)展史，我們發(fā)現(xiàn)微分方程與物理、天文學(xué)以及日異月新的科學(xué)技術(shù)有著密切的聯(lián)系.如牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，就利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置.而這些都證明微分方程在改造自然和認(rèn)識(shí)自然方面有著巨大的力量.微分方程是自變量、未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）組成的關(guān)系式.在解決實(shí)際問題的過程中，我們又得出了常微分方程的概念：如果在一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)中只含有一個(gè)自變量，那么這個(gè)方程則稱為常微分方程.

4.常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

由于資源的有限性，當(dāng)今世界各國都注意有計(jì)劃地控制人口的增長，為了得到人口預(yù)測模型，必須首先搞清影響人口增長的因素，而影響人口增長的因素很多，如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭等諸多因素，如果一開始就把所有因素都考慮進(jìn)去，則無從下手.因此，先把問題簡化，建立比較粗糙的模型，再逐步修改，得到較完善的模型.

英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯（1766—1834）在擔(dān)任牧師期間，查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料，發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個(gè)常數(shù)，于1789年在《人口原理》一書中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型，他的基本假設(shè)是：在人口自然增長過程中，凈相對(duì)增長（出生率與死亡率之差）是常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與人口成正比，比例系數(shù)設(shè)為r，在此假設(shè)下，推導(dǎo)并求解人口隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型.

設(shè)時(shí)刻t的人口為N（t），把N（t）當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理（因人口總數(shù)很大，可近似地這樣處理，此乃離散變量連續(xù)化處理），據(jù)馬爾薩斯的假設(shè)，在t到t+Δt時(shí)間段內(nèi)，人口的增長量為

并設(shè)t=t0時(shí)刻的人口為Ν0，于是

dNdtN（t0）=N0=rN

這就是馬爾薩斯人口模型，用分離變量法易求出其解為

N（t）=N0er（t-t0）

此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無限增長.

模型檢驗(yàn)：據(jù)估計(jì)1961年地球上的人口總數(shù)為N0=3.06×109，而在以后7年中，人口總數(shù)以每年2%的速度增長，這樣，r=0.02t0=1961N0=3.06×109.

于是，N（t）=3.06×109e0.02（t-1961）.

這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在1700—1961年間世界人口總數(shù).因?yàn)椋@期間地球上的人口大約每35年翻一番，而上式斷定34.6年增加一倍（請(qǐng)讀者證明這一點(diǎn)）.

5.結(jié)束語

通過例子可以看出，把常微分方程和數(shù)學(xué)建模有機(jī)地結(jié)合起來，能把理論由知識(shí)型向能力型轉(zhuǎn)化，利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，雖然推導(dǎo)過程有些繁瑣，但是結(jié)果卻相當(dāng)簡單，而且能給出合理的解釋.因此，我認(rèn)為把常微分方程和數(shù)學(xué)建模有機(jī)地結(jié)合起來能更好地發(fā)揮微分方程的作用，解決更多的實(shí)際問題.

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