幾何問題 抓住“點”

李菁菁 高明

【摘要】 在許多幾何問題中都涉及特殊點，如圓周上的切點，角平分線上的點，線段的中點等.當求解含有這些特殊點的問題時，試著從這些“點”入手，把握住“點”的特征，根據已知條件作相應的輔助線，從而尋找解題的突破口，利于解決幾何問題.

【關鍵詞】幾何問題；特殊點；輔助線

在幾何問題中常存在一些“點”，這里的“點”指的是如中點，圓心，切點等特殊點.在解決這類幾何問題時，關鍵是要抓住這些點的特征，根據點的性質以及已知條件，適當地作一些輔助線，尋找有利于解題的信息，從而使問題得到解決.下面，本文舉例說明.

例1 （2015全國初中數學聯賽初賽4）如圖，平行四邊形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC的中點，∠DEM=35°，則∠B的大小是（ ）.

A.100° B.110° C.120° D.125°

解析 由題可知∠BEM=90°-∠DEM=55°，而若不作輔助線，僅利用已知的邊角關系，此題不易解，要注意到，題中存在BC的中點M，則不妨取AD的中點N，并連接MN交ED于F點，得右圖.因為點M，N分別為BC、AD的中點，所以MN平行且等于AB、CD.根據條件易證F為ED中點，且有∠AED=∠NFD=∠MFE=∠MFD=90°，又因為EF=DF，可證得△MFE≌△MFD（SAS），故∠FME=∠FMD.由BC=2AB且M是BC的中點可得MN=ND=DC=CM，則可證得△DMN≌△DMC（SSS），所以有∠FMD=∠CMD.故∠FME=∠FMD=∠CMD=∠MFE-∠DEM=55°，從而∠EMB=180°-3∠FME=15°，所以∠B=180°-（∠BEM+∠EMB）=110°，所以答案選B.

評注 在幾何問題中常有涉及中點、三等分點等等分點的問題，它們不僅能將線段分成相等的幾個部分，還能與一些點構成特殊角，所以在遇到等分點時，通常需過該點作輔助線，從而形成利于解題的邊角關系.

例2 如圖，在等腰三角形ABC中，以底邊AB的中點O為圓心作半圓，與兩腰相切于P，Q.在PQ上任意取一點D，過D作圓O的切線交兩腰于M，N.求證：AM與BN的乘積為定值.

解析 要證明AM與BN的乘積為定值，則該定值一定與等腰三角形的邊有聯系，且AM與BN分別在△OMA與△NOB中，則要利用已知條件來尋找這兩個三角形的關系.此題存在切點，則可先將切點與圓心連接起來（見右圖），以便于尋找利于解題的信息.因為∠A=∠B，且∠APO=∠OQB=90°，所以可得∠1=∠6.又因為OP=OD，∠MPO=∠MDO=90°，所以

Rt△MOP≌Rt△MOD（HL），則可得∠2=∠3，同理可得Rt△DON≌Rt△QON，則∠4=∠5.因為∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°，所以∠1+∠2+∠5=90°.又因為∠5+∠ONB=90°，所以可得∠1+∠2=∠ONB，即∠AOM=∠ONB，故△OMA≈△NOB，從而有AMAO=BOBN，則

AM·BN=AO·BO=AB22，即證得AM與BN的乘積為定值.

例3 （2015四川省初中數學聯賽13節選）如圖，已知△ABC和△DBE均為等腰直角三角形，且∠ABC=∠DBE=90°，A，B，D三點在同一直線上.∠BCD的平分線CF與∠CBD的平分線BF交于點F，過點F作FG⊥DC，垂足為G.求證：AD=CD+2FG.

解析 最終要求證的等式中有FG，則要與點F發生聯系，由于點F是CF與BF的交點，且CF與BF分別為∠BCD與∠CBD的角平分線，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，則不妨過點F分別作BC與BD的垂線，垂足分別為H、K，得右圖.因為FG⊥DC，所以可知FG=FH，易證Rt△CFH≌Rt△CFG，所以有CH=CG.根據條件易證四邊形HBKF為正方形，則有HB=BK=KF=FH.因為∠FKD=∠FGD=90°，且KF=FH=FG，所以有Rt△DFK≌Rt△DFG，故DK=DG，則AD=AB+BD=CB+BK+KD=CH+HB+FG+GD=CG+FG+FG+GD=CD+2FG.