淺談在高三數學總復習中“總結”的有效性

鄭曉容

一、重要知識點的網絡作用的總結

本章節可把重點成三塊：

1.函數性質周期性奇偶性單調性最值（整體性質體現）

2.函數圖像作用識圖用圖

3.基本初等函數二次函數指數函數對數函數冪函數

通過分割而統一的三大塊重點知識的整理，學生會覺得條理、簡單，把握整章節知識點，再引導學生根據這三大塊逐個知識去聯想相關性質，對照常見題型，重要解題方法，滲透思想方法.如單調性判斷題型，有定義判定、導數判定、圖像判定等，也有單調性和求最值相結合應用題等.通過分塊網絡總結，可以在更高層次理解和把握，可以和其他學科進行知識的交匯.如方程、不等式、數列、曲線等，也可以聯想重要思想方法.如方程思想、數形結合思想、類分整合思想等價化歸思想等，由此形成內在統一知識體系，具有條理性、系統性，從而夯實基礎，提高效率.

二、一類問題解決方法的總結（例子略）

求函數最值問題、最值是函數的整體性質，綜合性強，求法靈活.它貫穿于整個高中數學的始終，求法一定要總結：

（1）配方法——適用題目的結構是二次函數，在給定區間上求最值有兩類：一是求閉區間[m，n]上的最值，二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題，勿忘數形結合.注意“兩看”（開口方向、對稱軸和區間相對位置關系）.

（2）換元法——其題目結構特征是含有根式、對數等超越式，通過換元，把超越式轉換成有理式，把復雜問題轉化為簡單問題.

（3）函數的有界性——其結構特征是含有sinx或cosx.

（4）單調性法——含有基本初等函數，可以利用基本初等函數的單調性.還有形如f（x）=x+k[]x（k>0）的雙刀型曲線的單調性.

（5）數形結合——其結構特征是能充分利用所表示的幾何意義.如表示成為兩點的距離、

直線斜率等等.

（6）判別式法——其結構特征為分式函數中分子或分母至少有一個是二次的.

三、一個典型數學問題的解法總結

如“含參數的不等式恒成立問題”的解法總結：

例 設f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8，當x∈[0.+∞）時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求參數a的取值范圍.

解析 構造新函數F（x）=f（x）-g（x），要滿足f（x）≥g（x）恒成立，就要使F（x）≥0，當x∈[0.+∞]時恒成立；從而轉化為當x∈[0.+∞]時F（x）min≥0，轉化為關于a的不等式從而求得a的范圍，解答（略）.

圖 1 圖 2 圖 3

總結：①題意理解準確，f（x）≥g（x）的x∈[0.∞）上成立此時f（x）和g（x）取相同x值，而不是理解為，當x∈[0.+∞]時，F（x）min≥g（x）max.如圖（1）：顯然滿足了前者而不滿足后者.②這個問題的表現形式還有㈠已知f（x）≥m（m為常數）在給定的區間I上恒成立，則x∈Ι時f（x）min≥m，如圖（2）：㈡已知f（x）≥m（m為常數）在給定的區間I上有解（解非空），則x∈Ι時f（x）max≥m，如圖（3）：（三）見“例子”形式.（四）已知F（x）min≥g（x）max在給定的區間I上有解（解非空），等價于“F（x）-g（x）≥0”轉化為形式㈡.③針對以上四種形式分析歸納形成解決這類問題的通法：法1.直接求f（x）的最值[如㈠、㈡]或構造F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的最值[如（三）、（四）].法2：分離參數法，如例子f（x）≥g（x）在x∈[0.∞）上恒成立即x3+2x2+x-4≥ax2+x-8恒成立，分離成a≤x+4x2+2在[0.∞）上恒成立，而令y=x+4x2+2在[0.∞）上，求最小值用均值不等式或導數求解.法3，若是二次不等式恒成立或有解問題，可用二次圖像數形結合求解.由此通過總結題型和方法，高度反思，使得復習具有針對性，提高效率.

四、常見題型的總結

在本章的學習中，二次函數在閉區間上求最值是一種常見題型之一.

例 已知二次函數f（x）=ax2+2（a-1）x+1（a≠0）在-3[]2，2上的最大值為3，求a的值.

對于本題一大特點是已知閉區間上最值，求函數或區間中的參數，而不是不含參數，直接在閉區間上求最值的問題，它是一個逆向最值問題.若從直接求最值入手，需分a>0和a<0兩大類的五種情形討論.過程繁瑣.顯然必須從最值的分布情況入手，二次函數取得最值一定在閉區間上的兩個端點或拋物線的頂點處取得.因此先求出這三個值，再檢驗其真假，思路明了，過程簡潔.這是解決逆向型閉區間最值問題的一種有效方法（解略）.通過對常見題型的解法總結，使學生胸有成竹，碰到類型題，增強信心，入手快，思維活躍，有利于在考試中更好發揮水平.本節中的單調性、奇偶性等知識點都有常見題型值得很好總結.

總之，“總結”是思維過程的結果，是經驗的結晶，是智慧的升華，是理性的.教學實踐證明，引導學生學會總結、善于總結學過的知識點、方法和題型以及滲透著思想方法.是可以較大提高復習效率的，是可以作為總復習的有效方式之一.在第三輪綜合模擬訓練階段，能學會總結，善于總結，學習效果會更明顯，更應該讓學生去自我總結題型、知識方法、應試的心態的調節等等.