對數學概念教學的幾點認識

闕鳳珍 溫少挺

【摘要】概念教學是數學教學中至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的核心.正確理解數學概念是學好數學的基礎，也是提高數學教學質量的關鍵.

【關鍵詞】數學概念；教學；思想方法

數學概念是數學的基礎理論，因此如何設計數學概念教學，怎樣加強概念教學，就值得深入地進行探討.本文結合教學實踐，談一些膚淺的看法.

一、正確認識數學概念的重要性

數學概念向來不被學生重視，大部分的學生認為學習數學的關鍵就是做題，即便有些概念不是很清楚，只要多做一些題，就可以掌握相應的定理、公式及法則，就可以學好數學.事實上，數學概念是導出數學定理、公式和數學法則的邏輯的基礎，只要理解并掌握了數學概念，掌握很多定理、公式與法則就易如反掌.例如，在我們學習三角函數這一章時，只要弄清任意角三角函數的定義這一概念：在直角坐標系xOy中，對任意角α，在α的終邊上任取一點p（x，y）≠0，0，令|op|=r，則r=x2+y2≠0，定義正弦sinα=yr，余弦cosα=xr，正切tanα=yx，余切cotα=xy，正割secα=rx，余割cscα=ry，則對三角函數的定義域、值域、周期性、同角三角函數的基本關系式比如sin2α+cos2α=1，tanα=sinαcosα等，以及誘導公式很容易的就掌握了.相反，恰恰是對數學概念的一知半解，導致學生不能理解記住掌握數學中的定理、公式以及法則，制約著學生成績的提高.因此，在課堂教學中，教師應當加強數學概念的教學，使學生自覺養成嚴肅認真對待數學概念的習慣.

二、數學概念教學的幾點認識

數學概念是反映現實世界空間形式和數量關系本質屬性的思維形式.從數學概念產生的客觀背景來說，有兩種情形：一是直接從客觀事物的空間形式或數量關系反映得來的，如幾何中點的概念等，二是在原有數學概念的基礎上，經過多層次的抽象概括而形成的，如近世代數中的群、環、域概念等.但由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和明確規定性，很多教師在教學中往往以“告訴”的方式，先入為主的讓學生“占有”新概念，置學生于被動地位，使思維呈依賴性，這不利于創新型人才的培養.因此，如何使學生形成正確的數學概念，在概念教學中，教學方法尤為重要.

（一）闡明概念的實際意義

任一抽象概念，都有其客觀實際意義，對概念的理解，要首先注意到它反映了什么實際東西.拿導數這個概念來說，在此概念的建立和形成過程中，首先從實際問題出發，引入物體運動的瞬時速度與曲線的切線兩個實例，而后抽象出導數的概念.但這還不夠，最后還要指出導數是概括了各種各樣的變化率概念而得出的更一般更抽象的概念，它丟棄了自變量和因變量所代表的某種特殊意義，純粹從數學方面來刻畫變化率的本質.這樣的好處是：第一，能使學生了解這個概念的產生，不是憑人的主觀意識決定，而是客觀現實的要求；第二，這一概念不是空洞的詞句，而是有一定的實際內容，這樣給出的定義，是扎實可靠的.

（二）引入新概念要遵從認識規律

數學概念本身具有概念的形成與概念的抽象性等特征，因而在這部分數學概念教學中更須遵循由特殊到一般，由局部到整體的觀察方法；遵循由現象到本質，由具體到抽象的認識規律，使學生形成新的概念.如數學概念中的點、線、面、體、集合、對應等概念的建立，就是通過大量具體的生產、生活中的具體實例抽象出來的.

（三）引入新概念要明確概念的層次性

首先，在復習舊有概念的基礎上導出新的概念.如中學數學中“導數”概念的建立，就是在函數的平均變化率及極限概念的基礎上導出的.如果對預備概念不熟悉，必然影響新概念的建立.其次，針對概念形成的階段性，弄清概念形成的層次性.這個概念的產生，需要復習哪些預備概念，準備哪些舊有知識，教師要做到心中有數，講授前首先對預備概念進行復習，重點概念要反復強調，以便新概念的順利導出.

（四）提出概念中需要注意的細節問題

數學概念中，有一些細節性的東西容易被教師以及學生忽略，但恰恰正是這些細節問題嚴重影響學生對概念的理解，以至在處理問題時模棱兩可，對問題認識不清.因此，在概念教學中，必須提出需要注意的細節問題.如在講述反函數這一數學概念時，在介紹完反函數的概念后，再指出下面需要注意的問題：①反函數的定義域就是直接函數的值域，反函數的值域就是直接函數的定義域；②函數y=f（x）與函數x=f-1y表示變量x與y的同一關系，因而它們的圖像是同一條曲線；③函數y=f（x）與函數y=f-1（x）的圖像關于直線y=x對稱；④函數y=f（x）存在反函數的充要條件是其定義域中的x與值域中的y是一一對應的.這樣學生就能清楚地認識反函數這一概念了.

（五）指明容易出現的錯誤

如果錯誤的、模糊的概念一旦在學生頭腦中形成，先入為主，再糾正就很困難，而且遺患無窮.因此，在講述每一個概念時，要指明容易出現錯誤的地方，先入為主，使學生更清晰的認清新概念，以促進正確概念的形成.例如：在講無窮小的概念時，介紹無窮小的概念后需強調：①無窮小是個極限為零的變量或函數，而不是零；②無窮小不是一確定的常數，任意小的實數ε不是無窮小，比如10-100、10-1000不是無窮小；③“0”是唯一的無窮小的常數；④是不是無窮小與自變量的變化趨勢有關，所以說無窮小時必須指明自變量的變化趨勢.認清了這幾點，學生對無窮小的概念就十分清晰了.

（六）對一些不易理解的抽象概念注意分散難點

數學概念是對客觀事物的抽象概括，因而概念具有高度的抽象性，概念的這一特性為人們研究學習概念造成了一定的障礙.在概念教學中，對某些概念，一方面盡可能地從直觀入手；另一方面，也應對概念進行定性分析、定量分解，達到分散難點的目的，使概念變得容易被接受.例如在講“函數f（x）在x→x0時的極限”的定義時，首先舉出幾個簡單函數的例子，比如f（x）=x+1在x→1時函數值無限接近于2.函數值隨自變量的變化如下表：

從上表中容易看出，當x越來越接近1時，f（x）就越來越接近于2，即f（x）與2的差值越來越接近于0，還可看出x無論是從1的左側還是從1的右側趨向于1時，|f（x）-2|都越來越小，這時就稱x→1時，f（x）以2為極限.

又比如考察函數f（x）=x2-1x-1在x→1時的變化情況.函數在x=1處沒有定義，而x≠1時，f（x）=x2-1x-1=x+1，故f（x）在x→1時函數值隨自變量的變化同表1，所以當x越來越接近1時，f（x）就越來越接近于2，即f（x）在x→1時也以2為極限.但從這個函數我們看到，函數在一點處的極限值與這一點的情況無關.由此，便可以給出關于x→x0時函數極限的定義：設函數f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，A為常數，如果在自變量x→x0的變化過程中，函數值f（x）無限接近于A，就稱A是函數f（x）當x→x0時的極限.

通過這六個方面，可以在數學概念教學中，一改傳統方式，加強學生對數學概念的理解與記憶，改善課堂結構，真正落實了教師的主導地位與學生的主體地位.通過概念教學，不僅培養了學生動腦筋的習慣，也使學生領悟到具體問題要具體分析.久而久之，培養了學生的解題能力，獲得情感、能力、知識的全面發展.同時，教師在精心設計師生共作的過程和精心編選例習題的過程中也可以不斷提高自身素質，達到教學相長的目的.

【參考文獻】

[1]趙雙貴.淺談數學概念教學[J].焦作大學學報，2001，3.