讓“設計”在課堂教學中綻放精彩

胡云山

余文森教授從專業角度提出：課堂教學的有效性是指通過課堂教學使學生獲得發展，最核心的一點是看學生是否愿意學、主動學以及怎么學、會不會學。葉瀾教授認為有效的課堂應該是這樣的：教師在教學過程中，千方百計地讓學生之間相互學習，充分交流知識經驗和生活經驗，達到資源共享；學生在學習的過程中會不斷生成新的思想和認識，在交流中認識不斷升華，實現智慧共生。毫無疑問，要實現這一切，就必須把課堂教學設計好?！霸O計”讓你的課堂教學的質量更高、更精彩。

一、在知識形成處設計， 體驗知識形成歷程

【案例1】圓錐曲線的導入

（一）展示圖片，激發興趣

地球繞太陽的運行軌跡；彗星的運行軌跡；炮彈的飛行軌跡；噴泉的水柱……以這些圖片揭示橢圓、雙曲線、拋物線和圓錐曲線。

（二）再現歷史，重溫歷程

1.希臘著名學者梅內克繆斯（公元前4世紀）企圖解決當時的著名難題“倍立方問題”，他把等腰直角三角形ABC的直角A的平分線AO作為軸。旋轉三角形ABC一周，得到曲面ABECE'，（如圖1）。用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲線EDE'，梅內克繆斯稱之為“直角圓錐曲線”。他想以此在理論上解決“倍立方問題”但未獲成功。而后，便拋開“倍立方問題”，用不同的平面去截此曲面，把圓錐曲線做為專有概念進行研究。當時，希臘人對平面曲線還缺乏認識，上述三種曲線須以“圓錐曲面為媒介得到，因此被稱為圓錐曲線的“雛形”。

2.展示圓錐木塊經過不同切割后產生的曲線。

3.經過了約二百年的時間，希臘的兩位著名數學家奧波羅尼奧斯（公元前三世紀后半葉）和歐幾里得（公元前300-前275）。奧波羅尼奧斯在他的著作《圓錐曲線論》中，不僅系統地闡述了圓錐曲面的定義、利用圓錐曲面生成圓錐曲線的方法與構成，而且還對圓錐曲線的性質進行了深入的研究。歐幾里得在他的巨著《幾何原本》里描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，即平面內一點F和一定直線AB，從平面內的動點M向AB引垂線，垂足為C，若|MF|：|MC|的值一定，則動點M的軌跡為圓錐曲線。只可惜對這一定理歐幾里得沒有給出證明。

4.又經過了500年，到了3世紀，希臘數學家帕普斯在他的著作《匯篇》中，才完善了歐幾里得的關于圓錐曲線的統一定義，并對這一定理進行了證明。至此，圓錐曲線的定義和性質才比較完整地建立起來了。17世紀荷蘭數學家舒騰（F.van.Schooten，1615～1660）利用橢圓的兩個焦半徑之和等于常數這一性質，給出橢圓的畫法。直到1822年，比利時數學家旦德林（G.P.Dandelin，1794～1847）才利用雙球模型總結出橢圓的定義。

（三）嚴格推理，建構數學

由雙球模型及球外一點所作球的切線長都相等可得MF1=MP，MF2=MQ，故MF1+MF2=MP+MQ=PQ （常數），也就是說，截線上任意一點到兩個定點F1F2距離之和等于常數（如圖2）。

一般的，平面內到兩個定點F1F2的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點F1F2叫做橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離叫做橢圓的焦距。

類似可以得到雙曲線，拋物線的定義。

【設計意圖】努力通過數學情境，體現數學的歷史與文化。本節課是圓錐曲線這一章的第一課，設計時結合教材加入了數學史材料，揭示數學知識形成的過程，同時揉入數學家的故事，讓原本枯燥、乏味的課堂煥發生機，學生不僅了解了數學發展史，增加了學習數學的興趣，而且從故事中學到了數學家的嚴謹態度、鍥而不舍的探索精神。通過設計，讓學生在主動參與獲取知識的過程中獲得挫折和成功的體驗，并在這一過程中培養耐挫力和探索的興趣，積累成功的經驗。

二、在建構新知處設計， 經歷知識發展過程

【案例2】圓錐曲線第二定義的建構

（一）回顧舊知，提出疑問

展示橢圓標準方程的過程：設點M（x，y）為橢圓上任意一點，焦點F1，F2的坐標分別是（-c，0）和（c，0）。由橢圓的定義可得： ，……（1）；將這個方程移項，兩邊平方得： ，……（2）；兩邊再平方，整理得 ……（3）

【問題1】我們為什么把（3）式作為橢圓的標準方程？

分析： （3）式簡潔，具有對稱美，容易求解，便于研究橢圓的幾何性質，如范圍，對稱性，頂點等。

【問題2】大家說了（3）式的諸多優點，它作為標準方程有什么缺點？

分析：無法揭示橢圓上的動點到兩焦點的距離之和等于定長的幾何本質。

（二）問題驅動，建構新知

【問題3】（1）式恰好有此優點，但無法揭示橢圓的其他幾何性質，是否存在一個方程能使兩方面完美結合？

分析：將（2）式變形： ……（4），即|MF2| =a-ex……（5）。

將（4）式變形得： 即 ……（6）。其幾何意義是橢圓上的動點M（x，y）到右焦點的距離與它到定直線 的距離之比等于常數e。

（三）感知數學，引申發散

【問題4】（6）式正好揭示了橢圓的第二定義。（1）式還有其他變形嗎？又能有什么收獲？

分析：在（1）式兩邊乘以 ，整理可得：

，其幾何意義為：橢圓上一動點到兩焦點的距離之差與該點到垂直于焦點連線的對稱軸的距離之比為定值；若對（1）式兩邊平方，整理得： ，其幾何意義為橢圓上動點到兩焦點的距離之積與它到原點的距離的平方之和為定值……

【設計意圖】學生不是空著腦袋進教室的，每一位學生都有許多數學知識和生活經驗，這構成學生進行數學學習的特定世界，影響并制約著他們的數學學習。根據維果斯基的“最近發展區理論”，教學應著眼于學生的最近發展區，建立在學生認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。通過各個層次的問題的驅動，鼓勵所有學生認真思考，使不同層次的學生都有回答問題的愿望，調動學生的積極性，發揮其潛能，超越其最近發展區而達到下一發展階段的水平。只有認識到學生已有經驗在學習活動中的重要性，才能實現真正意義上的有效探究。

三、在應用知識處設計， 展望知識應用價值

【案例3】橢圓性質的運用

【例題】我國發射的一顆通訊地球衛星的運行軌道，是以地心C為一個焦點的橢圓，近地點A距地面為439km，遠地點B距地面為2384km，且A、C、B在同一直線上。地球半徑為6371km，求衛星的運行軌道方程（精確到1km）。

解：以AB為x軸，AB的中點為原點建立（如圖3）所示的直角坐標系。設橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，則a-c=CA=6371+439=6810，a+c=BC=6371+2384=8755，解得：a=7782.5，c=972.5， ≈7721.5。所以橢圓軌道近似為 =1。

【設計意圖】數學應用問題的解決在數學化的過程中也要時刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識地訓練數學思維品質。圓錐曲線除了以上兩個實際應用外，在太陽系中天體運動軌道幾乎都是圓錐曲線，古代人們為了占卜及預報日食、月食等需要，對圓錐曲線作了大量研究，不但使圓錐曲線成為最早認識的非圓曲線，也促進了數學本身的發展。人造地球衛星的軌道也是橢圓，人們在設定了一定的軌道參數之后，就能控制和預報衛星的運行軌道。本題的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數學概念為根基，充分體現了數形結合的思想。

教學設計作為教師對新課程實施的設想、計劃、方案，是教師將教育理念付諸實踐的起點，是教育理念與教學實踐的界面。為此，教師在進行教學設計時，一定要樹立正確的指導思想，樹立“為了每位學生的充分發展”的價值取向和以課改新理念為出發點的觀念，教學設計要有時代性、挑戰性，要新穎獨特、具有個性，要融入教師自己的科學精神和智慧。更要不斷進行教學反思，努力做一名反思型教師，及時發現新問題，把教學實踐提升到新的高度，實現自我超越，提高自己駕馭課堂教學的能力。