不等式中恒成立問題的探究

計進

【摘要】 高中數學的恒成立問題是高考重要題型，函數與不等式中的恒成立問題，一般綜合性強，可考查函數、數列、不等式等諸多方面的知識，同時，培養學生分析問題、解決問題、綜合駕馭知識的能力. 本文結合例題淺談恒成立問題的常見解法及恒成立問題的基本類型，以幫助學生更好地理解不等式恒成立問題關鍵，熟練掌握解決此類問題的技巧.

【關鍵詞】 不等式；一次函數；二次函數；參數；恒成立.

數學教育以教會學生解答數學問題為重要目標，數學教育離不開解題教學，老師在學生研究、思考、理解的基礎上，可以給學生總結一些特征題型的特定解法，讓學生能夠專題專解，既快又準地解題. 高中數學的函數與不等式中恒成立問題是高考重要題型，這類問題一般綜合性強，可考查函數、數列、不等式等諸多方面的知識. 同時，培養學生分析問題、解決問題、綜合駕馭知識的能力. 它涉及不等式，一次函數，二次函數，函數最值、單調性、奇偶性和圖像分析. 恒成立問題的解題的基本思路是：根據已知條件將恒成立問題向基本類型轉化，正確選用函數法、最值法、數形結合等解題方法求解. 下面結合例題淺談恒成立問題的常見解法及恒成立問題的基本類型：

類型一：一次函數

Ⅰ.可參數分離情形

對于不等式f（x） > 0對一切x∈[α，β]恒成立，若f（x）中含有字母參數a，且可以轉化成a > g（x）（a < g（x））的形式，那么如果g（x）（x∈[α，β]）的最大值（或最小值）存在？圳a > g（x）max（或a < g（x）min）

例4 當x∈[1，2]時，不等式x2 + mx + 4 < 0恒成立， 求實數m的取值范圍.

Ⅱ. 不可參數分離情形

對一些不能把參數放在一側的或者能夠放在一側但很難求解的，可以利用對應函數的圖像法求解. f（x） > g（x）對一切x∈D恒成立？圳f（x）的圖像在g（x）的圖像的上方.（例題略）

類型四：形如f（x1） > g（x2）（例題略）

在教學中，教師喜歡一題多解來培養學生解決問題的能力，培養學生的興趣，而且在考試時，如果學生掌握了一些解題的技巧，在解題時游刃有余，會更加自信.

不等式恒成立的題型和解法還有很多，只要充分利用所給定的函數的特點和性質，具體問題具體分析，選用恰當的方法，對問題進行等價轉化，就能使問題獲得順利解決. 只有這樣，才能真正提高分析問題和解決問題的能力.

【參考文獻】

[1]劉國華.數列中恒成立問題的求解思想[J].中學數學研究，2011（8）：45-46.

[2]劉昌龍.函數教學中學生辨析思維能力的培養[J].上海中學數學，2011（219）：7-9.