微積分原理教學(xué)最迫切解決的問題

丁新寶

【摘要】 現(xiàn)行微積分原理一直存在嚴(yán)重錯(cuò)誤，以致時(shí)至今日人類編不出來一本滿足微積分方法要求的微積分原理教材. 本文通過重新定義微分理順錯(cuò)了195年的微積分原理.

【關(guān)鍵詞】 新微分；依附函數(shù)；新微積分原理

一、引 言

《淺談現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤》一文，以淺顯的語言、確鑿的證據(jù)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫞喢鞫到y(tǒng)地闡述了現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤，人類沒有理由再繼續(xù)這種錯(cuò)誤.

下面簡述微積分原理發(fā)展的歷程，分析柯西等大數(shù)學(xué)家發(fā)生錯(cuò)誤的原因，找出解決問題的辦法.

二、現(xiàn)行微積分原理錯(cuò)誤的產(chǎn)生與問題的解決

（一）微積分簡史

微積分方法的創(chuàng)立要早些，一般以牛頓（I. Newton，1642—1727）和萊布尼茲（G. Leibniz，1646—1716）的工作為微積分誕生標(biāo)志. 1665年和1672年，牛頓和萊布尼茲分別獨(dú)立地展開了他們各自的微積分研究工作，形成了各自的微積分原理和微積分方法. 就微積分原理而言，牛頓和萊布尼茲所建立的微積分原理都存在無法自圓其說的問題，當(dāng)然，萊布尼茲的微積分原理不管從相對(duì)的嚴(yán)密性方面還是應(yīng)用的行之有效性上看都優(yōu)于牛頓；就方法全面性而言，萊布尼茲也同樣優(yōu)于牛頓.

現(xiàn)行主流微積分學(xué)者認(rèn)為，微積分的發(fā)展經(jīng)歷過兩次危機(jī). 第一次是貝克萊（G.Berkeley，1685—1753）抨擊導(dǎo)致的，認(rèn)為是柯西使微積分原理度過了這場危機(jī)；第二次是由病態(tài)函數(shù)所致，認(rèn)為是以康托（G. Cantor，1845—1918）、貝爾（R. Baire，1874—1932）和勒貝格（H. Lebesgue，1875—1941）為代表的數(shù)學(xué)家再次使微積分原理度過了危機(jī)，某代表性成果是實(shí)變函數(shù)理論.

事實(shí)并不是這樣的. 所謂第一次危機(jī)的克服無法解決dx = Δx的赤裸裸的邏輯錯(cuò)誤（到了多元函數(shù)就更荒唐）等一系列問題；所謂第二次危機(jī)的克服事實(shí)上是漏洞百出的. 限于篇幅，我們只舉兩個(gè)例子：

第一，Lebesgue的測(cè)度理論的邏輯脈絡(luò)為：區(qū)間是有測(cè)度的，但代數(shù)數(shù)的測(cè)度為0. 而區(qū)間是由代數(shù)數(shù)和超越數(shù)構(gòu)成的，所以，超越數(shù)是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者. 事實(shí)上，區(qū)間不是由二者，而是由三者——代數(shù)數(shù)與超越數(shù)以及數(shù)與數(shù)的間隙共同構(gòu)成的，因此，Lebesgue只排除一者的排除性推理是錯(cuò)誤的. 事實(shí)上，與實(shí)數(shù)一樣多的數(shù)與數(shù)的間隙是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者. 第二，Cantor定理的證明都是錯(cuò)誤的. 因?yàn)閷?duì)于純數(shù)學(xué)而言，實(shí)數(shù)不可以寫作無限不循環(huán)小數(shù). 無限小數(shù)是動(dòng)態(tài)的、不確定的數(shù)，而所有數(shù)（當(dāng)然包括無理數(shù)）都是靜態(tài)的、確定的數(shù). 如果用序列講，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)序列的極限，而不是它自身，更不是它的動(dòng)態(tài)過程.

（二）錯(cuò)誤的發(fā)生

這里需要強(qiáng)調(diào)指出的是，現(xiàn)行微積分方法相對(duì)于牛頓和萊布尼茲而言是極大豐富了的，在豐富工作中貢獻(xiàn)最大的要數(shù)歐拉（L.Euler，1707—1872）. 微積分方法是牛頓和萊布尼茲通過近似的手段得到的精確的方法，微積分方法越是行之有效，人們就越想破解隱藏在其背后的行之有效的機(jī)理——微積分原理，同時(shí)，還想借助這個(gè)機(jī)理發(fā)現(xiàn)更多的微積分方法. 1821年，柯西（A.L. Cauchy，1789—1857）嘗試建立了新的微積分原理，這個(gè)原理是用極限思想繼承牛頓的微積分原理并拼接萊布尼茲的微分的結(jié)果. 中間，再經(jīng)過黎曼（G.Riemann，1826—1866）、魏爾斯特拉斯（K. Weierstrass，1815—1897）和達(dá)布（G.Darboux，1842—1917）等數(shù)學(xué)家的工作，形成了現(xiàn)行的微積分原理.

柯西從來就不是思想始祖，他的成績都是對(duì)始祖思想的組合利用. 就1821年柯西的思想水平和數(shù)學(xué)功夫而言，一方面，他不可能在數(shù)學(xué)的數(shù)-形模型角度有所突破，因此，不可能將萊布尼茲的微積分原理推向前進(jìn)；另一方面，就當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)的發(fā)展水平而言，沒有極限還解釋不了瞬時(shí)變化率問題，因此，特定思想水平的柯西想不到極限以外的辦法. 沃利斯提供了極限思想，牛頓提供了導(dǎo)數(shù)是“無限減小的量的比的極限”的結(jié)論、達(dá)朗伯導(dǎo)數(shù)的極限解釋，萊布尼茲提供了微商表示的思想，把這四個(gè)點(diǎn)一連線，現(xiàn)行微積分原理就出來了. 可是，由于柯西并不真正理解微積分原理，加之他的本事是利用原創(chuàng)成果，導(dǎo)致了微分的錯(cuò)誤處理，從而，使整個(gè)微積分原理走向錯(cuò)誤.

（三）問題的解決

筆者完全接受如下結(jié)論：1. 徹底的微積分原理是萊布尼茲式的；2. 萊布尼茲式的微積分原理只能在新的數(shù)-形模型基礎(chǔ)上建立. 筆者現(xiàn)在提出的解決辦法是過渡性的.

設(shè)y = F（x）在U（x0，η）內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為y′ = f（x），定義dy = f（x）dx為函數(shù)y = F（x）在U（x0，η）的微分函數(shù)，簡稱微分. 其中dx是x基礎(chǔ)之上的與Δx不發(fā)生關(guān)系的新增量，dy是dx引起的在y基礎(chǔ)之上的與Δy不發(fā)生關(guān)系的新增量. 微分函數(shù)dy（x，dx）是依附函數(shù)，它不同于傳統(tǒng)的二元函數(shù)，因?yàn)閐x是依附于x的. 我們稱dy = f（x0）dx為函數(shù)F（x）在x0點(diǎn)的微分.

通過Δy = f（x）Δx + o（Δx）可知，當(dāng)dx = Δx時(shí)，dy = f（x）dx = f（x）Δx就是Δy的線性主部，即Δy - dy = o（Δx），可以寫作Lipschitz形式.

這樣，導(dǎo)函數(shù)f（x）可以寫作微商形式. 這樣定義的微分不再存在邏輯矛盾，用于不定積分第二類換元法和微分方程求解等都不再說不通.

三、結(jié)束語

張景中院士說：“任何一個(gè)創(chuàng)造，在實(shí)現(xiàn)之前，都是困難的. 因?yàn)槿藗兪窃跓o知中摸索. 摸到之后，就成簡單的了.”全面揭示現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤和糾正現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤就是這樣，重建微積分原理更是這樣. 雖然“摸到之后，就成簡單的了”，可是，在強(qiáng)大的科學(xué)迷信面前，理解也需要勇氣和用心.

毋庸諱言，巧妙地定義微分是解決微積分原理頑癥的絕妙之筆. 新微分，如果直接用于改造現(xiàn)行微積分原理，現(xiàn)行微積分原理就合理了；新微分，如果直接與張景中院士的微積分原理相結(jié)合，就形成一個(gè)不用極限的滿足現(xiàn)行微積分方法要求的微積分原理. 當(dāng)然，如果從F（x + Δx） - F（x） = f（x）Δx + o（Δx）入手定義導(dǎo)數(shù)，從而定義新微分，就可以形成一個(gè)更易于接受的不用極限的微積分原理.

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