《線性代數(shù)與解析幾何》理論知識與MATLAB實(shí)驗(yàn)有機(jī)融合的探索

王立剛　王鋒　沈艷　范崇金　凌煥章　許麗艷　廉春波

摘要：隨著國內(nèi)高校陸續(xù)在數(shù)學(xué)課程中加入實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的數(shù)學(xué)課教學(xué)模式越來越受到廣大教師和學(xué)生的認(rèn)可。本文以哈爾濱工程大學(xué)的線性代數(shù)課程建設(shè)和改革為實(shí)例，探討了將理論知識與課程實(shí)驗(yàn)深入融合的方法，介紹了我校在課程設(shè)置、教材內(nèi)容和授課方式上的具體做法，這些研究和探索為線性代數(shù)教育教學(xué)改革提供了有益的思路和方法。

關(guān)鍵詞：理論與實(shí)踐；MATLAB；線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)；教學(xué)改革

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）16-0178-03

自從2009年教育部教改項(xiàng)目“用MATLAB和建模實(shí)踐改造線性代數(shù)課程”實(shí)施以來，國內(nèi)一些高校嘗試與國外名校的教育方式接軌，將計(jì)算機(jī)與MATLAB軟件引入線性代數(shù)等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中[1-5]。這種理論與實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)模式對于提高數(shù)學(xué)課程的教育教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣有多方面的優(yōu)點(diǎn)：（1）利用計(jì)算機(jī)計(jì)算，有利于學(xué)生從煩瑣的手工計(jì)算中解脫，學(xué)生可以將更多的注意力集中到對理論知識的理解和掌握上；（2）借助于動(dòng)畫演示，有利于學(xué)生從枯燥的概念和理論推導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的生動(dòng)和優(yōu)美；（3）通過應(yīng)用案例的學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際生活和工作中，有助于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識。

一、《線性代數(shù)與解析幾何》上機(jī)實(shí)驗(yàn)課現(xiàn)狀分析

在教育部教改項(xiàng)目的推動(dòng)下，國內(nèi)一些高校率先在《線性代數(shù)與解析幾何》課程中開設(shè)了MATLAB實(shí)驗(yàn)，哈爾濱工程大學(xué)是首批高校之一，每年有超過3300名學(xué)生參加線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)。經(jīng)過幾年時(shí)間的課程建設(shè)和運(yùn)行，這種在數(shù)學(xué)課程中引入實(shí)驗(yàn)的教學(xué)模式有力地促進(jìn)了課程的教學(xué)質(zhì)量，提升了授課效果。但隨著線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)課程的深入開展，教學(xué)中理論知識和實(shí)驗(yàn)內(nèi)容二者結(jié)合不夠緊密的問題逐漸顯現(xiàn)，并且已經(jīng)影響了教學(xué)效果的進(jìn)一步提升。這些問題出現(xiàn)的原因主要有以下幾個(gè)方面：首先，在課程設(shè)置過程中，國內(nèi)高校通常采用的做法是在理論課學(xué)時(shí)之外，再設(shè)立一些學(xué)時(shí)的實(shí)驗(yàn)課，在實(shí)驗(yàn)課上講授MATLAB軟件及其在線性代數(shù)中的應(yīng)用，這樣將理論課與實(shí)驗(yàn)課分開講授，割裂了理論知識與實(shí)踐應(yīng)用之間的內(nèi)在聯(lián)系；其次，在講授內(nèi)容上，實(shí)驗(yàn)課在一次授課中可以完成較多知識點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)和練習(xí)，這些知識點(diǎn)，在理論課中要多次授課才能完成，因此實(shí)驗(yàn)課要在多次理論課后才能進(jìn)行一次，這切斷了理論課與實(shí)驗(yàn)課以及實(shí)驗(yàn)課之間知識的連貫性。從學(xué)生的反饋信息來看，學(xué)生感覺實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)太少，實(shí)驗(yàn)課的間隔時(shí)間過長，剛剛對MATLAB軟件入門，對線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生興趣，課程就結(jié)束了，下次課要幾周之后才上，學(xué)生總有種意猶未盡的感覺。因此，在《線性代數(shù)與解析幾何》課程教學(xué)中，需要探索研究將理論知識與實(shí)驗(yàn)內(nèi)容有機(jī)融合，在學(xué)時(shí)有限的情形下，讓學(xué)生熟悉掌握更多的MATLAB軟件知識，了解見識更多的實(shí)踐案例，這對進(jìn)一步提升實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的教學(xué)效果、提高授課質(zhì)量有重要的實(shí)際意義。

二、理論與實(shí)驗(yàn)有機(jī)融合的教學(xué)模式構(gòu)建

為了進(jìn)一步提升《線性代數(shù)與解析幾何》課程中理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合教學(xué)模式的教學(xué)效果和教育教學(xué)質(zhì)量，哈爾濱工程大學(xué)《線性代數(shù)與解析幾何》教學(xué)團(tuán)隊(duì)在教材內(nèi)容、課程設(shè)置和授課技巧三個(gè)方面對課程進(jìn)行了改革。具體改革方式如下。

1.課程設(shè)置上的調(diào)整。為了保障線性代數(shù)教學(xué)改革的順利進(jìn)行，經(jīng)過與學(xué)校教務(wù)部門溝通，我們對線性代數(shù)課程的設(shè)置進(jìn)行了微調(diào)。在線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)課程設(shè)立之初，我校線性代數(shù)有理論課56學(xué)時(shí)和實(shí)驗(yàn)課8學(xué)時(shí)。在8學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)課中，4學(xué)時(shí)用于講授MATLAB軟件并演示實(shí)驗(yàn)案例，4學(xué)時(shí)用于學(xué)生上機(jī)操作實(shí)驗(yàn)，所有實(shí)驗(yàn)課都是學(xué)生周末在機(jī)房實(shí)驗(yàn)室內(nèi)集中完成。隨著課程的開展，這種課程設(shè)置方式的弊端逐一顯現(xiàn)：一方面，如前文所述，理論課和實(shí)驗(yàn)課知識連貫性被間斷；另一方面，占用學(xué)生大量的周末時(shí)間，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)課程與學(xué)生周末活動(dòng)以及各種考試（如大學(xué)英語四、六級考試，全校大學(xué)化學(xué)考試，等等）發(fā)生沖突。有鑒于此，我們將4學(xué)時(shí)演示實(shí)驗(yàn)調(diào)整到理論課課堂上，MATLAB知識的學(xué)習(xí)、演示內(nèi)容和實(shí)踐案例可以由授課教師根據(jù)課程進(jìn)程和授課內(nèi)容靈活安排，這種調(diào)整既增強(qiáng)了理論課與實(shí)驗(yàn)課之間的聯(lián)系，又增加了理論課授課的生動(dòng)性，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且課程設(shè)置的調(diào)整也推動(dòng)了教學(xué)內(nèi)容的更新升級。

2.授課內(nèi)容和教材上的升級。在理論課上增加MATLAB基礎(chǔ)知識和演示案例等內(nèi)容，需要在授課內(nèi)容和教材上進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整升級。我們在教材中，在理論知識點(diǎn)后增加相應(yīng)的MATLAB命令和應(yīng)用案例，這種方式在國外教材以及國內(nèi)其他課程中常常采用，也被證明是較為適合我國學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。一些具體方法如下：

實(shí)例1：行列式計(jì)算及其幾何意義。

在講授完行列式的定義和計(jì)算方法后，將MATLAB中計(jì)算行列式的命令det（A）介紹給學(xué)生，并利用一個(gè)維數(shù)較大的行列式的計(jì)算來介紹這個(gè)命令的使用方法，并讓學(xué)生體會(huì)利用計(jì)算機(jī)和MATLAB軟件運(yùn)算的簡便和快捷。接下來，引入實(shí)例，介紹行列式在數(shù)學(xué)上的幾何意義，即二階行列式a b a b 的絕對值是以向量 ={a ，b }和 ={a ，b }為鄰邊的平行四邊形的面積（如圖1所示），以及三階行列式 絕對值為相鄰棱的平行六面體的體積（如圖2所示）。

通過如下例題，學(xué)生可以了解到這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用。

例1：已知三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（1，1），B（-1，5），C（3，4），試?yán)肕ATLAB軟件計(jì)算該三角形的面積。

解：已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得向量 =（-2，4）， =（2，3），而三角形ABC的面積等于向量 和向量 構(gòu)成的平行四邊形面積的一半。根據(jù)二階行列式的幾何意義，由點(diǎn)（x1，實(shí)例2：特征值與特征向量的計(jì)算及其幾何意義。

特征值與特征向量在線性代數(shù)中占有重要地位，但它們的計(jì)算較為煩瑣。對于初學(xué)者來說，它們的意義是什么，為什么要計(jì)算這些值并不清晰。在這里增加計(jì)算特征值和特征向量的MATLAB命令eig（A），以及演示特征值與特征向量的幾何意義的命令eigshow（A），可以有效地幫助學(xué)生加深對這部分知識的理解。

例2：利用eigshow（A）命令，演示特征值與特征向量的幾何意義。

解：首先輸入一個(gè)二階矩陣，再執(zhí)行eigshow命令

在圖3中，綠色的x表示原坐標(biāo)系中的單位向量，藍(lán)色的Ax表示變換后的新向量。可以用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住x并拖動(dòng)它繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，于此同時(shí)Ax也相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)向量處在同一條直線上時(shí)（包括同向和反向），這表明兩個(gè)向量相位相同，只存在一個(gè)實(shí)數(shù)乘子λ（可正，可負(fù)）滿足Ax=λx，這就利用eigshow命令演示了特征值和特征向量的幾何意義。

3.授課方式上的改進(jìn)。將MATLAB基礎(chǔ)知識和演示內(nèi)容調(diào)整到理論課上，也使傳統(tǒng)的授課方式受到了沖擊。MATLAB軟件有許多內(nèi)容需要學(xué)習(xí)，如何合理安排講授時(shí)間、如何去繁就簡地選取適當(dāng)?shù)膬?nèi)容都需要仔細(xì)考量。為此，我們只遴選了與課程相關(guān)的MATLAB基礎(chǔ)知識加入教材中。授課中，通過布置課前預(yù)習(xí)的方式讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)MATLAB內(nèi)容，再利用預(yù)習(xí)報(bào)告和課堂講授為學(xué)生介紹實(shí)驗(yàn)中用到的重點(diǎn)內(nèi)容。同時(shí)，要選取恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)引入演示案例，才能更好地發(fā)揮演示實(shí)驗(yàn)的效果。課堂上，通常在講授了基本概念、定理及相應(yīng)的手算方法后，再介紹實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，這樣既不會(huì)讓實(shí)驗(yàn)內(nèi)容淡化學(xué)生對概念、定理和手算方法的理解和掌握，保證理論知識的整體性，還能夠?qū)⑹炙愫蜋C(jī)算進(jìn)行對比學(xué)習(xí)。但在講授解析幾何中的“旋轉(zhuǎn)曲面”時(shí)，更適合立刻利用曲面的畫圖命令進(jìn)行演示，給學(xué)生關(guān)于曲面的直觀感受。

實(shí)例3：曲面的繪制。

在“旋轉(zhuǎn)曲面”這部分內(nèi)容中，雙曲拋物面（馬鞍面）和雙葉雙曲面是學(xué)生較難掌握的兩個(gè)圖形，借助于演示實(shí)驗(yàn)，可以幫助學(xué)生直觀認(rèn)識這兩個(gè)圖形，還能學(xué)習(xí)三維圖像的繪制方法。

解：繪制圖像的命令如下：

所得圖像如圖4所示。

解：利用極坐標(biāo)繪制該曲面的圖像，原方程的參數(shù)方程為：

繪制命令如下：

所得圖像如圖5所示。

三、實(shí)踐與探索的成效

將MATLAB軟件知識、線性代數(shù)實(shí)際案例與理論知識有機(jī)融合，可以推動(dòng)線性代數(shù)課程的教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式的深入改革。將實(shí)踐內(nèi)容滲透到線性代數(shù)的各章中去，有助于解決線性代數(shù)理論知識教學(xué)中存在的內(nèi)容抽象不易于理解、手工計(jì)算煩瑣、學(xué)與用脫節(jié)等教學(xué)問題。在課堂上恰當(dāng)?shù)匾肷鷦?dòng)的實(shí)踐案例和優(yōu)美直觀的幾何圖像，不僅能提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，還能夠讓學(xué)生學(xué)以致用，這對提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和解決實(shí)際問題的本領(lǐng)，培養(yǎng)學(xué)生的開創(chuàng)性思維和創(chuàng)新意識都有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳懷琛，高淑萍，楊威.科學(xué)計(jì)算能力的培養(yǎng)與線性代數(shù)改革[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009，12（3）：23-25.

[2]李繼成.線性代數(shù)與空間解析幾何課程全面改革的思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（2）：7-10.

[3]陳利霞，王學(xué)文.應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革[J].中國電力教育，2013，（19）：147-148.

[4]劉春霞.MATLAB在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，14（3）：248-251.

[5]張鵬鴿，高淑萍，馬建榮.幾何直觀在線性代數(shù)課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2015，4（16）：199-200.