淺談極限的計(jì)算方法與技巧

呂淑君

【摘 要】極限是高等數(shù)學(xué)重要的基本概念之一，是貫穿高等數(shù)學(xué)的一條主線(xiàn)，靈活掌握極限的計(jì)算是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。極限的計(jì)算方法很多，非常靈活，比如極限的四則運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小的代換、洛必達(dá)法則等。

【關(guān)鍵詞】極限；計(jì)算；兩個(gè)重要極限；等價(jià)無(wú)窮小；洛必達(dá)法則

1 引言

極限概念是深入研究函數(shù)變化性態(tài)的一個(gè)最基本概念，極限方法是數(shù)學(xué)中最重要的一種思想方法，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)。早在中國(guó)古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有記載。例如，魏晉時(shí)代的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》中利用割圓術(shù)，用圓內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)的極限是圓周長(zhǎng)這一思想來(lái)近似地計(jì)算圓周率。隨著微積分學(xué)的誕生，極限作為高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念被明確提出。但最初提出的這一概念是比較含糊的，因此在數(shù)學(xué)界引起不少爭(zhēng)論。直到19世紀(jì)，由柯西、魏爾斯特拉斯等人才將其置于嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上，從而得到了世界的公認(rèn)。

2 極限的幾種計(jì)算方法

2.1 利用無(wú)窮小量的性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小的代換求極限

2.1.1 無(wú)窮小量有下列重要性質(zhì)：

2.1.1.1 有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍為無(wú)窮小量；

2.1.1.2 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量；

2.1.1.3 常量與無(wú)窮小量的乘積為無(wú)窮小量；

2.1.1.4 有界變量與無(wú)窮小量的乘積為無(wú)窮小量。

當(dāng) 時(shí)，有下列常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小：

sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln（1+x）～x，ex-1～x，（為非零常數(shù)）。

2.1.2 利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限時(shí)應(yīng)注意以下問(wèn)題：

2.1.2.1 等價(jià)無(wú)窮小代換只能對(duì)分子或分母中的因式進(jìn)行代換.

2.1.2.2 在乘除運(yùn)算中才可以將無(wú)窮小用其簡(jiǎn)單的等價(jià)無(wú)窮小去替換.

例1：求極限

解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，x為無(wú)窮小量，且，即為有界變量，

由性質(zhì)（4）得=0.

例2：求極限

解：原式=

例3：求極限

解： 原式

2.2利用極限的四則運(yùn)算法則求極限

定理1：設(shè)，則

①；

②；

③.

也就是說(shuō)，如果兩個(gè)函數(shù)的極限都存在，那么這兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的極限分別等于這兩個(gè)函數(shù)的極限的和、差、積、商（作為分母的函數(shù)的極限不能為0）.

由上述定理可以得到下面的推論

推論：設(shè)，

①若C為常數(shù)， 則；

②若n為正整數(shù)，則.

上述法則及推論對(duì)于，等情形均成立.

例1：求極限

解：原式==8

在應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，通常需要先對(duì)函數(shù)做某些恒等變換或化簡(jiǎn)，變換的方法通常有分解因式，分子（母）有理化，通分，比較最高次冪法等。

例2：求極限

解： 原式=

例3 求極限

解：原式=

=

例4：求極限

解：原式=

==

例5：求極限

解：原式=

對(duì)于此極限，我們有一個(gè)一般的結(jié)果，用數(shù)學(xué)式子可表示為：

（l、m為正整數(shù)；al， ……，a0，bm， ……b0為常數(shù)且al·bm≠0）.

2.3利用兩個(gè)重要極限求極限

2.3.1

該重要極限在極限計(jì)算中有重要作用，它在形式上有以下特點(diǎn)：

①它是型未定式.

②它可以寫(xiě)成（（ ）代表同樣的變量或同樣的表達(dá)式）.

例1：求極限.

解： 原式=

例2：求極限

解： 原式=

2.3.2

該重要極限在形式上有以下特點(diǎn)：

①它是型未定式.

②它可寫(xiě)成或.

例1：求極限

解：原式=

例2：求極限

解：原式=

2.4 利用洛必達(dá)法則求極限

2.4.1 型未定式

定理1：洛必達(dá)法則Ⅰ：若函數(shù)f （x）與g（x）滿(mǎn)足條件

①；

②和在點(diǎn)x0 的附近（點(diǎn)x0 可除外）可導(dǎo)，且；

③存在（或無(wú)窮大）.

則=

上述法則對(duì)時(shí)的型未定式同樣適用.

例1 求

解： 原式=

2.4.2 型未定式

定理2：洛必達(dá)法則Ⅱ：若函數(shù)f （x）與g（x）滿(mǎn)足條件

①；②和在點(diǎn)x0 的附近（點(diǎn)x0 可除外）可導(dǎo)，且；③存在（或無(wú)窮大）.

則=

上述法則對(duì)時(shí)的型未定式同樣適用.

例2：求

解：原式=

注：利用洛必達(dá)法則不僅可以解決型和型未定式的極限問(wèn)題，還可以解決0·∞型，∞-∞型，1∞型，00型，∞0型等類(lèi)型的未定式極限問(wèn)題，解決這些類(lèi)型未定式的方法，就是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，將它們化為 型或型未定式的極限。

3 結(jié)論

極限的計(jì)算方法靈活多樣，根據(jù)題目的特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算方法是關(guān)鍵，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習(xí)，在練習(xí)中體會(huì)。

參考文獻(xiàn)：

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