一題多解 啟迪思維

李昌成　車燕昭

【摘 要】一道好的高考題就是一個好的教學(xué)素材，本文研究的這道高考題從不同的角度去思考都可以成功得解，同時能很好地啟迪學(xué)生的思維，達到觸類旁通的目的。

【關(guān)鍵詞】一題多解；啟迪思維

一、題目

（2012年新課標，理11）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（ ）

A. B.C. D.

二、分析與解答

分析1：如圖1，取AB的中點。考慮到，那么SA=SB，在?SAB和?ABC中利用三線合一可得：AB⊥面SPC，原三棱錐被分割成易于求體積的兩個棱錐。

解法1：取線段AB的中點P

∵CS是球的直徑 ∴ ∠CAS=∠CBS=

又∵?ABC是等邊三角形∴AS=BS

∴PS⊥AB，PC⊥AB

∵PS∩PC=P∴AB⊥面SPC

∴

下面求?SPC的面積，易得，由余弦定理及三角形面積公式得：

∴

分析2：利用全等三角形將錐體再次分割成底面積和高易求的兩個三棱錐。

解法2：由解法1知：，過A做，連接BP，顯然BP⊥SC

∵AP∩BP=P∴CS⊥面PAB

∴

∵∴∴

∴∴

分析3 ：分析已知數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)錐體中隱藏著一個正四面體。

解法3：如圖3連接AO，BO，由已知得AO=BO=CO=AB=BC=AC=1，∴三棱錐O-ABC是正四面體。

∵AO是?SAC的中線∴

∴

（棱長為的正四面體的體積為）

分析4：利用相似性求錐體的高。 解法4：由解法3知：三棱錐O-ABC是棱長為1的正四面體，

∴SC（OC）在面ABC內(nèi)的射影為∠ACB的角平分CP

∴過O做CP的垂線OD就是O-ABC的高，

∴過P做SQ的垂線OQ就是S-ABC的高，

∴（棱長為a的正四面體的高為）

∴

分析5：利用正四面體中的線面角求高。 解法5：設(shè)SC與面ABC所成的角為θ，S-ABC的高為h

由正四面體的性質(zhì)知：

∴

∴

分析6：借助正四面體的高求錐體的高。

解法6：三棱錐S-ABC與O-ABC可以看成以B為公共頂點，底在同一個面內(nèi)的三棱錐，設(shè)S-ABC的高為h，則

易知， ?SAC是直角三角形，

∴

分析7：空間直角坐標系是解立體幾何的一個重要工具。

解法7：借組正四面體建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz

其中D為 ?ABC的中心， x軸為∠ACB的平分線， y軸// AB，

由已知得 O（0，0，），設(shè)S（x2，y2，h）C（x1，0，0） ，由中點坐標公式得：

∴

∴

三、解題反思

解答本題通常就是切割法，若不仔細思考難以發(fā)現(xiàn)其他更好的解法。站在數(shù)據(jù)特征的角度，結(jié)合正四面體的定義發(fā)現(xiàn)了錐體中的正四面體；正四面體的線面角又提供了高的妙解；站在三棱錐底與高具有相對性的角度發(fā)現(xiàn)了高的更妙解法；另外相似性將空間問題平面化；空間直角坐標系也是常用解題工具。我們的思維就這樣被開發(fā)了。