淺談在乘法公式教學中培養學生的觀察和思維能力

冉光才

摘 要 學生的觀察能力及思維能力直接影響著學生對數學的學習，本文從乘法公式的學習、乘法公式的運用、對公式、性質的綜合利用及知識產生的過程教學淺談了培養學生觀察能力及思維能力的方法。

關鍵詞 乘法公式 觀察能力 思維能力 培養

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）18-0010-02

學生的觀察能力及思維能力直接影響著學生對數學的學習，因此教學中，在傳授知識的同時應注意培養和提高學生的觀察能力及思維能力，使他們在獲取知識的過程中學會觀察和思維的方法，從而提高思維的效率。在此我就乘法公式的教學如何培養學生的觀察能力談談自己的做法。

一、通過乘法公式的學習培養學生的觀察能力

在公式的學習中應引導學生仔細觀察、分析公式的結構特征，正確理解公式中各個字母的廣泛含義以及公式所表達的真正意義。

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2公式寫出后首先可引導學生由等式的兩端觀察公式所含的外形結構，公式左邊為兩個因式的積，這兩個因式所含的項數相同，且在兩個因式中一個項相同，另一個項互為相反數，因此左端可敘述為兩個數的和與這兩個數差的積，右邊正好是這兩個數的平方差。其次，讓學生理解公式中的a（第一個數）b（第二個數）可為具體的數，也可以是單項式或多項式等代數式，凡是符合這個結構特征的寫為（□+△）（□-△）=□2-△2

例如：運用平方差公式計算：

①（-m+n）（-m-n） ②（2a-3）（-2a-3）

在①中通過觀察不難得出表達式為-m與n的和與差的積，所以第一數為-m，第二數為n，因此可利用平方差公式進行計算，即：原式=（-m）2-n2=m2-n2

②的表達式就不像①那樣直接，但只要仔細觀察便會發現表達式中的兩個因式所含的項數相同。兩個因式所含的項數相同，在兩個因式中-3與-3相同，而2a與-2a互為相反數，因此式中的兩個數分別為-3與2a，可利用交換律得到（-3+2a）（-3-2a）=9-4a2。

通過觀察確定第一數和第二數是運用公式的關鍵，也是難點，利用公式的結構特征對表達式進行觀察便會使觀察具有目的性和直觀性。

完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2引導學生通過觀察認識到：（1）完全平方和公式完全平方差公式中首尾兩項相同，中間一項互為相反數，即二者僅一個符號不同；（2）完全平方的結果是一個三項式，這樣可避免學生犯（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2的錯誤；（3）完全平方公式的另一種形式可為兩個相等的多項式相乘時便可直接利用完全平方公式進行計算。

例：運用完全平方公式計算（4x2-y2）2這個數學公式可分兩層理解，①4x2-y2理解4x2為與y2的差，②（4x2-y2）2理解為4x2與y2的差的平方，因此可利用完全平方公式，其中第一數為4x2，第二個數為y2，故：原式=（4x2）2-2？x2讁2+（y2）2=16x4-8x2y2+y4

二、通過乘法公式的運用，培養學生觀察的敏捷性

例：運用乘法公式計算

①（x+2y-1）（x-2y+1）

②（x+y-z+m）（x-y+z+m）

分析：①中的兩個因式所含項數相同，在所含的項中：x與x相同；2y與-2y，1與-1互為相反數，利用加法交換律和結合律可將原式變形為[x+（2y-1）][x-（2y+1）]，這便與平方差公式的結構特征相符，其中第一個數為x，第二個數為2y-1，故原式=[x+（2y+1）][x-（2y+1）]

=x2-（2y+1）2

=x2-4y2-4y-1

②中的兩個因式所含項數都是四項，進一步觀察會發現：x與x，m與m相同；y與-y，z與-z互為相反數，利用加法交換律和結合律可將原式變形為[（x+m）+（y-z）][（x+m）-（y-z）]這就是與這兩個數的和與差的積，因此符合平方差公式的要求，故原式=[（x+m）+（y-z）][（x+m）-（y-z）]

=（x+m）2-（y-z）2

=x2+2mx+m2-y2+2yz-z2

三、通過對公式，性質的綜合利用，培養學生的綜合觀察能力

例：計算（x+y）2（x-y）2

分析：由表達式學生不難看出可利用公式來進行計算，問題是應作怎樣的組合才會使計算簡便，這除了需要對表達式進行認真細致的觀察外，還需要在觀察時具有整體意識。在這個表達式中，兩個因式分別為完全平方和與完全平方和與完全平方差，學生很容易受這一特點的誘惑，將它們用完全平方式展開，各得到一個二次三項式，最后還把這兩個二次三項式相乘，顯然這樣的計算過程比較繁，假設式中的兩個因式的指數為1，即（x+y）（x-y），這一表達式恰好符合平方差公式，逆用積的乘方的運算性質便可把原式轉化為[（x+y）（x-y）]2即原式=[（x+y）（x-y）]2

=（x2-y2）2

=x4-2x2y2+y4

四、變用和推廣公式，培養學生發散思維能力

發散思維是一種不嚴格的非邏輯思維，是一種不依常規，尋求變異，多方面尋求答案的思維形式，具有流暢性、變通性等特點。在乘法公式教學中可通過推廣公式，在不同條件和結論下變用公式培養學生的發散思維能力。

例如，推廣完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，從兩方面推廣：一是從指數推廣，可向學生介紹著名的“楊輝三角”，寓德于教，對學生進行愛國主義教育；二是從項數推廣，課本例題已得到：（a+b+c）2=[a+（b+c）]2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，啟發學生思考如下問題：

問題1：猜想（a+b+c+d）2展開結果是什么？有何規律？你能否證明？

問題2：項數推廣到n項，猜想（a1+a2+……+an）2結果有何規律？

這樣設置問題，有助于培養學生發散思維能力和探索未知的精神，為學生將來學習打下良好基礎。