“詭辯”反例在數(shù)學教學中的應用

楊海燕　常健　李姣

摘 要：借助“詭辯”創(chuàng)造性地生成教學反例，從中設(shè)置一些有思維挑戰(zhàn)的“陷阱”，使學生在發(fā)現(xiàn)錯誤的過程中正確地建構(gòu)知識。

關(guān)鍵詞：詭辯；教學反例

學生在學習數(shù)學的過程中，源于原有知識和經(jīng)驗的不同、認知策略和思維方式的差異，在建立心理表征的過程中常常存在一些非標準甚至錯誤的觀念.[1]這些錯誤認識都是建構(gòu)活動的產(chǎn)物，對此數(shù)學教學中應給予重視。

老師應把錯誤的知識從學生的頭腦中“挖”出來，通過適當?shù)馁|(zhì)疑或反例的設(shè)計引起學生的觀念沖突，最后提供正確的解釋，幫助學生進行正確和錯誤的對比，從而形成正確表征，以幫助學生更好地建構(gòu)知識.“詭辯”再創(chuàng)造是實現(xiàn)該目標的有效措施。

所謂詭辯就是有意把真理說成謬誤，簡言之，就是有意顛倒是非、混淆黑白.借助“詭辯”，主觀主義的玩弄一些概念，創(chuàng)造性地設(shè)計為詭辯案例，讓學生在案例中分析錯誤，研究錯誤，參與錯誤的發(fā)現(xiàn)，并對其進行糾正，不僅能解決學生學習上的困難，而且能激發(fā)學習興趣，調(diào)動學習積極性.如下是生成詭辯教學案例的策略。

一、置詭辯于“思維陷阱”中

對于學生對某些數(shù)學概念、公式等方面理解不透徹，而表現(xiàn)在判斷、推理、論證及解題上的失誤現(xiàn)象，教師可以有的放矢地編寫一些具有迷惑性的題目，故意在易錯環(huán)節(jié)上設(shè)置“陷阱”，誘導學生誤入歧途，制造思維沖突，誘發(fā)靈感，產(chǎn)生真知，從而提高自我監(jiān)控能力。如下例：

案例1：若，求的最小值及最大值。

錯解：，故，所以

令，則，而對稱軸為，所以時，而不存在。

學生吃驚，最大值不存在，是題錯了？

分析：錯解中故意忽略的條件，換元后直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解，有界性往往隱含在題目中，類似的有偶此方，指數(shù)函數(shù)圓錐曲線有界性等。

正解：因，故，所以有

令，則，故，而對稱軸為，所以當時，

，當時，。

設(shè)計意圖：基于學生對某些概念、法則、定理、公式等認識不夠全面，在判斷、推理、論證及解題上頻頻出錯的現(xiàn)象，教師故意在易錯環(huán)節(jié)上“挖坑”，誘導學生誤入歧途，讓學生在思維沖突中提高邏輯思維能力.題目中的細枝末節(jié)往往決定是否能正確的解題.而學生在解題時易忽視這些細節(jié)，走入思維陷阱，出現(xiàn)如上例的荒唐錯誤。本案例以一易出錯的例子和忽視的錯解告誡學生思維嚴謹性的重要性。數(shù)學中“因小失大”的例子很多，本例只起拋磚引玉的作用，教師可以歸類，以這樣的方式講解常出現(xiàn)思維陷阱的習題有較強的說服力，還可以收到好的教學效果。

二、置詭辯于“思維定勢”中

學生在學習中難免會記憶數(shù)學模式，形成定勢思維，養(yǎng)成機械解決問題的習慣，對于剛學的公式、定理，學生往往容易思路單一，思維僵化，無論什么樣的問題，不假思索的生搬硬套.比如剛學會利用基本不等式求最值的方法，學生沒有形成每用一次基本不等式就要驗證等號成立條件的意識，犯如下錯誤：

案例2已知求的最小值。

錯解：=

=8

所以，的最小值是8。

初學不等式的學生會感覺解題過程完美無缺，怎么會是錯解呢？

分析：用基本不等式解題需要三個條件，一正，二定，三相等，只有滿足條件才可使用。錯解中想當然地利用不等式解題，看似符合思維，卻忽略了本質(zhì)的東西。

正解：原式==

=4

=

由得，又因，所以+117，則原式（當且僅當時，等號成立），所以，原不等式的最小值是。

設(shè)計意圖：這樣的錯誤就是在學生剛學基本不等式時忽略不等式成立的條件經(jīng)常出錯的地方，解本題需要使用兩次不等式，第一次等號成立的條件是，第二次等號成立的條件是。顯然兩個條件是不能同時成立的。通過分析，讓學生初步了解不等式使用的條件，不至于下次盲目使用。

教學中，若總是無誤地傳授知識，學生會產(chǎn)生無條件接受心理，從而抑制了學生自主探究的學習欲望。因此，“錯誤”也不可怕，把詭辯反例引入課堂教學，學生可以在分析錯誤，研究錯誤的過程中產(chǎn)生質(zhì)疑，從而驅(qū)動主體積極主動地思考思維對象的正確性及其依據(jù)，以引導學生定向探究和反思，這樣可以加深學生對知識的理解，從而提高教學質(zhì)量。

參考文獻：

[1]楊紅慶，李燕妮，董文軍.中學教育心理學[M].西安：西北大學出版社，2011：43-46.

[2]吳建春.用再創(chuàng)造原則指導中學數(shù)學課堂教學[D].福建：福建師范大學，2008.

（作者單位：延安大學數(shù)學與計算機科學學院）