“一次函數”有效教學策略分析

農鳳娟

摘 要：函數概念是初中階段數學的基本概念之一，為重點教學內容。而一次函數是學生學習函數概念最先接觸的知識，與實際生活有著緊密聯系，為其他函數的學習打下基礎，對學生今后深入學習函數知識有著重要的影響。因而，對一次函數有效教學策略的分析，具有較大的現實意義。基于此，結合初中一次函數教學研究的重要意義，分析了一次函數的形成過程、特點及性質，并在此基礎上提出相應的有效教學策略，以期為教師的一次函數教學提供有效參考。

關鍵詞：一次函數；函數概念；教學策略

一、初中“一次函數”教學研究的重要意義

1.函數概念是中學數學的重要概念

通過了解數學發展史可看出，在數學中有很多概念是由函數統帥、派生的，函數是反映運動與變化的基本概念，要學好數學知識，就必須熟練掌握與運用函數概念。從實質上講，數學由常量數學進入到變量數學，主要歸結于函數的研究。在中學數學學習考核中，函數是極其重要的一部分，并且，數學卷面考試的壓軸題基本以函數應用為主，要求初中生必須掌握函數概念及相關知識，并善于綜合應用知識。同時，初中數學教學大綱要求學生不僅要熟練掌握函數基本知識，還要學會與不等式、方程其他知識的整合，從數形結合的角度進行思考，積極探索變量之間的關系。

2.函數概念是初中生學習的難點

在中學數學教學中，函數概念定義為：在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，即可稱x為自變量，y是x的函數。在實際教學中，初中生在初次接觸“函數”這一概念時，還無法充分理解 “變量”“對應”“函數”等詞匯，因而學習較困難。學生在小學階段的數學學習中，所接觸的數學知識皆為常量，在初次接觸變量時，難以在較短時間內領悟變量與常量、函數與自變量的相互聯系，同時，圖象法、解析法、列表法等函數概念中的多種表示方法，往往都是相互聯系的，學生在函數學習中卻難以將它們結合起來。

3.有效的教學設計是提升學生認知水平的關鍵

作為初中階段數學教學中的核心概念，函數概念在初中教學中主要以“一次函數”概念及應用著手，因而一次函數教學極其重要，直接影響學生今后對函數的深入學習。教師只有結合學生的實際認知水平，構建科學的一次函數概念認知結構，在此基礎上開展教學活動，才能確保函數概念教學符合學生認知要求，從而達到預期教學效果。但在實際中，部分初中數學教師雖然擁有極其豐富的實踐經驗，但缺少必要的理論指導，習慣以經驗教學為主，致使函數教學質量不高，學生對函數知識的學習效果普遍不理想。如何科學指導一次函數的教學，成為當前“一次函數”教學研究的重點問題。

二、初中“一次函數”有效教學策略及實施探究

1.聯系實際生活，引入概念

數學來源于生活，并在生活中有著廣泛應用。作為初中數學教師，應與時俱進，積極更新教學觀念，及時了解社會焦點問題，并善于從社會生活中發現數學，搜集數學素材，拉近數學與學生的距離，引導學生不斷嘗試將函數知識應用到實際生活中。通過實際應用，讓學生深刻感受到數學的價值。在這個過程中，數學教師需要設計具有較強生活性、趣味性的問題，激發學生學習函數知識的熱情。例如，學習“一次函數”時，教師可設計問題：

（1）一輛車在加油前，油箱內沒有油，每分鐘往油箱加油25 L，試寫出加油時間與油箱內油量的函數關系式。

（2）一輛車在加油時，油箱內已有6 L油，每分鐘往油箱加油25L，試寫出加油時間與油箱內油量的函數關系式。

通過設計上述問題，引導學生進行討論，適時呈現出正比例函數與一次函數的基本知識。通過列出函數表達式：以x（min）來代表加油時間，y（L）來代表油箱中的油量，在油箱內空置的狀況下，即可用y與x之間的函數表達式y=25x，來表示兩者之間的函數關系。而在油箱內已有6L油的情況下，可用y=25x+6，來表現加油時間與油量的函數關系。

通過設計與生活聯系較為緊密的函數問題，有針對性地在教學中引入一次函數與正比例函數的關系，引導學生從生活中常見的案例抽象出一次函數模型，這種教學方式既能讓學生更輕松地理解函數概念，又能有效培養他們發現數學的能力，幫助學生將一次函數模型更好地應用于實際中。

2.巧妙設置懸念，探求概念

長期以來，初中數學教學主要以機械訓練為提升學生函數知識應用能力的主要方式，學生在其學習過程中，因繁重的學習任務，極易產生厭倦感，進而喪失對數學學習的興趣。因此，教師在一次函數教學中，應了解學生的心理特征，對于教學涉及的難點及重點內容，可通過設置懸念來增強教學的趣味性，以提升學生的學習興趣。例如，許多初中生在一次函數概念學習中，對“k≠0”這一條件及其形成原因難以在較短時間內理解透徹。對此，教師可從函數定義出發，設計以下探索活動：

在課堂教學中，引導學生回顧上一階段所學知識，并在講臺上列出：①y=25x；②y=25x+6；③Q=40-10s；④y=100t；⑤g=h-105，讓學生觀察這些函數表達式，并提出相應問題。

提問：

（1）以上五個函數表達式中，何為自變量？

（2）以上五個函數表達式分別是關于自變量的幾次式？

（3）按照一定規律對以上函數式作出分類。

（4）比較函數表達式①④與②③⑤的異同點？

通過引導學生進行討論，幫助他們對所列舉的函數作出分類，并最終總結出一次函數和正比例函數的概念，形成理解性記憶。在此基礎上，教師進行教學小結，給學生呈現出一次函數通常形式為y=kx+b（k、b為常數，且k≠0），而x是自變量，y為x的函數。其中，應特別強調當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y也可稱為x的正比例函數。

在對上述教學活動做出總結后，再進一步設計問題：

（1）為何“k≠0”呢？按照函數定義“k=0”是否可行？

（2）一次函數與正比例函數兩者之間有何關聯？

（3）在所學知識中，是否有與一次函數概念相似的關系？

教師通過設計一系列函數教學問題，由淺入深地讓學生掌握一次函數概念，并充分理解k存在條件限制的真正意義，明白知識的關鍵點，讓所學知識有效銜接起來，便于學生更好地記憶與實踐應用。同時，通過這種方法，能加深學生對一次函數、正比例函數以及兩者之間關系的全面理解，以避免學習中出現多種函數概念混淆的狀況。

3.數形結合，理解一次函數圖象性質

一次函數性質教學主要是讓學生掌握一次函數性質，并將其運用到解決簡單實際問題中。因此，在一次函數性質教學中，教師應結合教學需求，合理組織學生在實際問題中主動建立函數模型，并在實際應用中強化對函數性質的認知。通過調查發現，學生在將“數”轉化為“形”的學習中，表現較為困難，許多學生難以從圖象中準確找出所需信息與規律，甚至個別學生只能依靠機械記憶，艱難地記住畫一次函數圖象的步驟，不能有效掌握圖象之間平移變換的規律與訣竅。為此，教師需要加強這一方面的教學，重點關注學生對函數表達式與函數圖象轉換的掌握程度，并及時采取相應的教學策略，具體如下：

在函數表達式與函數圖象轉換上，首先通過問題導入：

問題1：請同學們總結一下，函數的表達方式共幾種，這些表達方式分別有什么特點？

學生通過對所學知識進行回顧，快速給出回答，教師在確定回答無誤的前提下，肯定學生的回答，以增強學生學習的自信心，并適時引導學生分析比較所學函數表達方式各自的特點及聯系，巧妙引入畫函數圖象的步驟與技巧。

問題2：哪位同學能通過函數的表達式畫出函數的圖象？不同的函數表達式畫法是否相同？請同學們嘗試畫出函數y=6x的圖象。

提問：

（1）怎樣進行“列表”，其“x”的值如何選取，而“y”的值又怎樣進行確定？

（2）如何進行描點，其中需要描多少個點，怎樣確定點的坐標？

（3）怎樣進行連線，連線的用意是什么？

通過一系列的問題設置，讓學生自身體驗畫函數圖象過程，并在此基礎上進行總結，讓學生理解畫函數圖象主要由列表、描點、連線三個步驟組成。在畫圖象過程中，需要盡量多地取整數點，以提升整體函數圖象的準確性。在確保學生領悟畫函數圖象方法的基礎上，通過習題訓練進行知識的鞏固，如讓學生繪制出y=x2的圖象。

在與學生一起探討了畫函數圖象方法與技巧后，可利用幾何畫板等相關教學工具，給學生更直觀地展示表達式y=6x與y=x2兩者各自的函數圖象，以深化學生對函數圖象的理解與認知。通過上述教學設計，學生不僅掌握了畫函數圖象的基本方法：列表、描點、連線，還對畫函數圖象的理論指導與操作技巧有了深刻認知，為后期反比例函數、二次函數及相關函數圖象的學習奠定堅實的基礎。

4.借助問題情境，增強學生的應用意識

生活中許多方面都應用到數學知識，并且一些生活中的問題也可通過函數模型來解決，為一次函數的實踐應用提供了有利條件。在一次函數教學中，教師應鼓勵學生積極將所學函數知識應用到實際問題的解決中，增強學生的知識應用意識，善于將生活中的實際問題轉變為數學問題，并采取有效的解決措施。通過調查發現，學生對于“往容積為600立方米的蓄水池內注水，并且池內原有水60立方米，注水量為10m3/min，在持續注水x分鐘后，蓄水池水量為y，求y與x的關系。”這一類型的一次函數模型，還無法將其有效應用到實際生活中。對此，教師可結合教學內容需求，設計合理的教學方案，有步驟地引導學生實現問題的轉換，合理地建立一次函數的模型，并解決實際問題。

例如，設置主題為“到北京看奧運”教學情境，2008年暑假，A 市的某中學教師帶領班上三位同學到北京看奧運，他們乘坐的是A市直達北京的動車組列車。其中，A市與北京的路程相距2000 km，動車以200 km/h的速度勻速進行。并在此情境下設計相關一次函數問題：假設動車行駛時間為th，動車抵達北京前，動車與北京的距離為s km，試找出s與t的關系。

在這道題中，學生可制作相關表格，反映出s與t兩者之間的關系，也可通過函數圖象，更為直觀地表現二者關系（見表1、圖1）

同時，學生也可通過s=2000-200t來準確反映s與t兩者間的關系。通過與北京奧運有關的情境，調動學生的積極性，讓學生初步體會可以用表格、圖象和關系式來表示兩個變量之間的關系，引導學生學會以數學角度觀察生活中存在的各種現象，并嘗試以數學知識解決其現象形成的原因。同時，通過情境設置，進行實際問題的數學化教學，讓學生更好地領悟到數學模型的實用價值，并掌握建立數學模型的相關技巧，增強學生的應用意識，讓學生主動利用數學知識分析與解決實際生活中存在的問題，以此來達到有效提升學生一次函數知識應用能力的教學效果。

綜上所述，“一次函數”是初中數學極其重要的一部分。在一次函數教學中，教師應秉持“以生為本”的教學理念，結合學生學習特點及發展需求，積極創新教學手段，突破教學重點，化解教學難點，提高教學質量，以確保學生真正掌握一次函數的相關知識。

參考文獻：

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編輯 孫玲娟