型極限的求法

林美娟

摘要： 型極限是微積分學(xué)中最為常見(jiàn)的極限，是待定型極限，不能直接用極限的四則運(yùn)算法則求出.根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，可以用以下方法簡(jiǎn)捷地求出 型極限：利用有理化或約分把待定型極限轉(zhuǎn)化為確定型的極限來(lái)求；將所求極限看成函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的定義求得；利用無(wú)窮小量的等價(jià)替換或洛必達(dá)法則簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程后求得.

關(guān)鍵詞： 型極限 無(wú)窮小量 計(jì)算

中圖分類號(hào)：O17 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2016）08（b）-0000-00

函數(shù)的極限可以分為兩大類：待定型和確定型. 型極限是指分子、分母均為無(wú)窮小量的函數(shù)的極限，是待定型極限，不能直接用四則運(yùn)算法則來(lái)計(jì)算.這類極限的計(jì)算貫穿于微積分學(xué)的教學(xué)過(guò)程之中，如何簡(jiǎn)捷地求出這類極限是每個(gè)師生所關(guān)心的問(wèn)題.對(duì)于這種類型的極限，可以根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)來(lái)選用計(jì)算方法.常用的計(jì)算方法有下面四種.

1.利用有理化或約分轉(zhuǎn)化極限類型

函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則給出了求函數(shù)極限最基本的方法，而 型極限是不具備函數(shù)極限四則運(yùn)算法則要求的，不能直接利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則來(lái)計(jì)算.對(duì)于函數(shù)是有理函數(shù)的 型極限可以將分子或分母因式分解后約去零因式，然后轉(zhuǎn)化為可以用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算的極限.對(duì)于極限是 型的無(wú)理函數(shù)可以將分母或分子有理化后約去零因式再用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算其極限.

2.利用導(dǎo)數(shù)的定義揭示極限意義

函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)其實(shí)就是當(dāng)自變數(shù)的改變量趨向于零時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的改變量與自變數(shù)改變量之比的極限，顯然是一個(gè) 型極限.可見(jiàn)，有的 型極也可以看成或轉(zhuǎn)化為函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求.

3.利用無(wú)窮小量的等價(jià)替換優(yōu)化計(jì)算

型極限的函數(shù)的分子、分母都是無(wú)窮小量，對(duì)于較為復(fù)雜的無(wú)窮小量用與其等價(jià)且簡(jiǎn)單的無(wú)窮小量去替換，可以優(yōu)化計(jì)算過(guò)程.

常用的等價(jià)無(wú)窮小量有：當(dāng) 時(shí)， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， -1～ .

在替換的時(shí)候必須保證替換后的分子和分母與原來(lái)的分子分母等價(jià)，不能只考慮局部等價(jià)，要求整體等價(jià).

4.利用洛必達(dá)法則簡(jiǎn)化計(jì)算

洛必達(dá)法則是計(jì)算待定型極限的有力武器.對(duì)于符合洛必達(dá)法則條件的 型極限可以用洛必達(dá)法則計(jì)算.如果應(yīng)用洛必達(dá)法則后得到的極限還是 型，只要仍滿足洛必達(dá)法則的條件，那么可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

在求 型極限的過(guò)程中，要盡可能地將函數(shù)的分子分母化為幾個(gè)因式之積的形式，可以約分的先約分，極限不為零的因式直接求出，這樣可以化簡(jiǎn)函數(shù)的形式.同時(shí)還要靈活、綜合地運(yùn)用相關(guān)方法來(lái)優(yōu)化計(jì)算過(guò)程.例如，在求極限 時(shí)，先用洛必達(dá)法則可得到 ，還是 型極限.如果不化簡(jiǎn)，再用洛必達(dá)法則計(jì)算，函數(shù)會(huì)變得比較復(fù)雜.這時(shí)，可以先求出 的極限值，這樣就可以得到 ，從而使函數(shù)得以簡(jiǎn)化.最后可用無(wú)窮小量等價(jià)替換求得極限.

參考文獻(xiàn)

[1]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008，4.

[2]費(fèi)定暉等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1980，2.

[3]劉智斌等.一類待定型極限的求法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015，05：88—89.