從空間解析幾何中窺探高等數學教學

劉剛 李瀏蘭 陳少林

【摘要】本文僅針對空間解析幾何這部分內容，結合教學實踐，從“知識的選擇與處理、綜合運用現代化教育技術及資源、以學生為主體”三個大的方面，窺探如何搞好高等數學教學.

【關鍵詞】高等數學；空間解析幾何；教學

【基金項目】湖南省普通高等學校教學改革研究項目（湘教通[2013]223號，序號332）和衡陽師范學院教改課題NJY201401，JYKT201404.

高等數學是大中專院校眾多專業學生必學的一門基礎課程.學習高等數學的意義不僅僅是獲得知識，為學習后續相關課程做鋪墊，而更重要的是掌握貫穿于該課程的數學思想、思維和方法，培養挖掘、分析和解決實際數學問題的能力.

盡管高等數學對培養相關專業學生的綜合素質能起到舉足輕重的作用，但因它的抽象性、邏輯性和嚴密性，讓很多學生望而卻步.加之，現在很多高等院校在向“實用型，應用型”進行轉型嘗試，我們的社會又存在些浮躁和急功近利的思想，這促使了更多的學生不注重高數理論的學習，而只關注知識的應用.無形之中，這些主客觀因素給我們本就難以開展的高數課堂，帶來了新的困難和挑戰.作為講授高等數學課程的教師，如何在最大限度地保持高數的知識和邏輯體系的基礎上，減少理論的教學，有針對性地增加應用的內容，并有機地融入到高數課堂，這是一個值得我們長期思索的問題.

考慮到高等數學的內容比較多，我們將內容限制在空間解析幾何部分.通常，我們將高等數學課程劃分成五大板塊：一元微積分，空間解析幾何，多元微積分，級數，常微分方程.空間解析幾何這部分內容在整個高等數學課程中所占的篇幅應該是最少的，但它是學習多元微積分的基礎.這部分內容看似比較直觀，但如果缺乏空間想象力的話，還是比較抽象的.另外，盡管這部分內容與我們生活的客觀世界息息相關，但是學生缺乏觀察、發現和思考.這就要求教師在課堂內外通過不同的方式方法來培養學生的空間想象力和思維能力，啟發他們去觀察和分析客觀世界，進而更好地解決本專業涉及的這方面知識的數學問題.故下面筆者結合自身的教學情況，僅針對空間解析幾何這部分知識，從三個大的方面膚淺地談談如何搞好高等數學教學，以期達到拋磚引玉的目的.

一、知識的選擇與處理

1.精簡課本內容，使其具有邏輯系和系統性

在這章內容的處理上，我們的考慮如下：為研究空間幾何圖形，我們采用代數的方法.首先引入空間直角坐標系，故空間中的點與一個三元數組形成一一對應，進而空間幾何圖形與一個數集相對應.為后續研究的簡便性，引入向量的概念及其相關運算.基于空間直線和平面的幾何特征，結合向量的相關性質，給出空間直線和平面的方程及其位置關系.最后由空間圖形與代數方程的關系，給出一些常見的空間曲線和曲面的方程.在具體的教學過程中，我們將該章分為以下四講：（1）空間直角坐標系；（2）向量及其相關運算；（3）直線和平面的方程及其位置關系的判定；（4）常見的空間曲線和曲面.

2.以數學史為導入，蘊含的數學思想與方法貫穿始終

每個人都是從聽故事中長大的，故而數學故事最能激起學生學習數學的興趣.然而，數學故事不同于文學作品，數學典故和數學知識的來龍去脈的講演固然重要，重點卻應該是了解蘊含其中的數學思想和方法.空間解析幾何始于笛卡爾和費馬研究，但笛卡爾側重從軌跡出發后尋找它的方程，而費馬卻是從方程出發研究它的軌跡.可謂是異途同歸，兩者都溝通了圖形和方程的聯系，體現了數形結合的思想.故在教學中，不僅要求學生能將空間幾何圖形與對應的方程互相轉換，還要能將空間幾何圖形之間的關系與對應的方程之間的關系進行互相轉換.

3.課堂內容豐富多彩，講授方式靈活多變

教師課堂講授內容的來源大致可歸結為如下四個方面：課本的知識，相關的歷史，生活實際的問題，專業上的應用.雖然課堂上主要講授的是課本的知識，但是為讓學習更具趣味性、思考性和應用性，教師通常需要將上述的內容進行有機的融合.從相關的歷史中，學生可了解知識的來龍去脈，感受思想和方法上的變化；從生活中的問題里，學生可感受到高數就在身邊，它真實地存在于我們的生活之中；從專業上的應用上，學生能領悟到高數在專業學習中的作用，進而激發他們學習數學的熱情.在選擇好的內容后，教師還需要充分發揮自己的能動性，通過自己對這些內容的理解并進行恰當地編排，以不同的方式方法進行講授.

例如：在講授空間直角坐標系時，我們是這樣考慮的：

（1）先用多媒體呈現一個場景：有一個6層的大型商場，外型像一個超大的長方體，內部呈“回”字型，中間是有頂的大廳.你現在要去該商場不同樓層且不同方位的6個商鋪采購，請問你根據商場一樓的各樓層的商鋪分布平面圖，如何對這些商鋪的空間位置定位？

（2）讓學生互相討論，抽幾個同學來回答.然后啟發他們怎么從數學的角度去解決.

（3）引入直角坐標系的相關概念.通過教師筆直站在墻角，左右手呈90度，以身體所在的直線為z軸，以左、右手所在的直線分別為x、y軸，頭、左手、右手所指的方向為相應軸的正方向，從而將大樓一分為八，對前面的相關概念給出一個直觀的認識.進而為提出的問題提供一種解決方法.

（4）讓學生體會這里面蘊含的思想和方法，再讓他們自己舉出生活和專業上應用這些思想和方法的實例.

二、綜合運用現代化教育技術及資源

1.合理使用多媒體教學

對于點、線、面等簡單的圖形，教師在黑板上容易實現，與此同時學生也可在稿紙上進行練習.但對于稍微復雜的二次曲面，在黑板上繪圖就費時費力，涉及圖形的翻轉、旋轉，曲線生成曲面的動態演示，曲面和曲面的交線等問題時，就只能靠個人的空間想象能力了.很多學生就會在想象的空間里迷失，因而課堂上就難以達到預期的教學效果.這時，就要借助于多媒體進行靜態與動態的展示，從各個角度演示空間幾何圖形，最好能以動畫的形式演示這些圖形的形成過程.另外，結合現實生活中一些應用曲面的實物和圖片，來進一步說明圖形的形狀與特征，以此加強學生對圖形的認識和空間想象力的培養.

2.引入數學軟件的教學

盡管計算機技術是每位大學生必修的課程，但是對于絕大部分同學而言，解決數學問題仍然停留在紙筆的階段，幾乎很少借助于計算機.但可以預見，信息化快速發展的未來，越來越多的人將會借助于計算機來完成自己的工作，從而某些數學計算、數據和圖形處理與加工等問題只需人們利用相應的數學軟件來解決.為此，數學軟件的教學是未來的一種必然趨勢.

目前，非數學專業使用得最多的數學軟件是Matlab （Matrix Laboratory）.空間曲線、柱面、旋轉曲面、二次曲面等的繪圖動能通過該軟件實現，還能通過動畫的形式演示曲線、曲面的形成和變化過程，以及完成對圖形的翻轉和旋轉等.引入數學軟件的教學，不僅將他們從一些復雜的計算和圖形處理等問題中解脫出來，而且能讓學生更好地理解所學知識，提高用計算機處理數學問題的能力，進而激發他們的學習興趣.

3.適當使用手機和電腦進行高數學習與討論

隨著經濟水平的提高和科技的快速發展，很多大學生都購買了電腦；至于手機，幾乎所有的在校大學生人手一臺，而且大部分都是智能手機.可是有很大一部分同學使用電腦和手機的主要目的是玩游戲，或看連續劇，或聊天.大把的時間都這么浪費了，很是讓人痛心.讓我們的學生盡可能地利用手機和電腦來進行學習，這顯然是不太現實的.但我們的教師在課堂上可利用一些手段和方法引導學生，將他們在手機和電腦上的關注的內容適當地進行轉移.比如有針對性地提供高數教學課件和視頻的網址（“國家精品課程資源網”值得推薦），讓他們課后觀看和討論預留的相關問題；利用QQ或微信或公共郵箱建立高數交流圈，讓學生及時地提交好的高數資料或網絡資源鏈接，以及遇到的高數難題并相互討論；適當地推薦一些寓教于樂的關于高數的文章和益智游戲.在空間解析幾何這章中，我們向學生介紹了《平衡球》、《3d迷宮》兩款益智游戲，產生了比較好的效果.學生在玩的過程中，不僅收獲了快樂，無形中也培養了他們的空間想象能力.

三、以學生為主體

1.穿插自學環節，誘導學生思考并解決問題

高等數學作為一門基礎課程，教師不僅要讓學生掌握相關的數學概念、定理、公式和計算方法，還要培養學生的自學能力、獨立思考和解決問題的能力，這也是高等教育培養目標之一.但因高等數學的教學任務重，課時少，如何在完成教學任務的同時，培養學生這方面的能力呢？

對于一些和高中數學有銜接的內容或難度不大的新內容，可以考慮讓學生在課堂上花一些時間來自學，然后通過一些問題讓他們積極思考并解答，最后讓他們提出還沒搞懂的問題.下面以空間的直線方程這部分內容為例.在學生自學這部分內容之前，我們將一些問題在黑板上或借助于多媒體進行展示，讓他們帶著這些問題邊看邊思考.問題設計如下：

（1）直線的幾何特征是什么？在給定的直角坐標系下，如何利用直線的幾何特征，轉化為相應的代數方程？反過來，什么樣的代數方程表示一條空間直線？

（2）空間直線的方程有幾種不同的表達形式？相互之間如何進行轉化？從幾何上，怎樣更好地理解這些表達式？

（3）對于直角坐標系xOy平面的直線，在空間直角坐標系中如何寫出它的方程，兩個方程有什么異同？

2.獨立思考為主，互相討論、協調合作為輔

培養學生的獨立思考和分析能力，是高等數學教育培養的一個重要目標.確實，不管在教學的過程中，還是作業的布置，或者考核的方式上，教師在這方面做了很多努力，但是對于團隊學習和協調合作卻很少觸及.自己的獨立思考有利于自身思維的發展和知識的認知，但即使對于同樣的內容，每個人的學習的方式方法、思維、表達等有所不同，而通過團隊的學習、探討和合作，不僅可學習別人好的思維模式、處理方式等，也可發現自身在學習上的問題，還可培養同學之間的合作意識與協同完成任務的能力.

因教學的時間有限，我們主要在以下三個地方實施團隊討論學習模式：（1）自學后，回答教師設計的問題；（2）有多種解法的習題；（3）每章學完后，該章的具有邏輯結構的知識脈絡圖.課堂內，我們以鄰近的3-5人為一個學習小組；課堂外，我們以同一個宿舍的所有成員為一個學習小組（一般是4名同學，因我院的學生是四個人一個宿舍）.對于學習小組在課堂討論的結果，我們會抽查幾組在黑板上進行黑板秀或口頭陳述，最后給予點評，從而讓他們比較自己組和別組同學的結果，吸收別人好的想法和方法.對于課后討論的結果，我們對做的好的小組予以表揚，利用多媒體對他們的結果進行展示，另外進一步完善他們的結果，補充一些他們沒有想到的方法.3.理論聯系實際，培養動手能力

通過將理論聯系實際，借此來培養學生的動手能力，進而提高學生的綜合素質.因高等數學里的數學思想和方法有其普性，這門課程又是眾多專業專業課學習的基礎，所以教師有必要將動手能力的培養提高到一個新的高度，從而為專業的學習與應用奠定堅實的數學基礎.然而，對于現在的大學生而言，讓他們從“看一看、摸一摸、擺一擺、做一做”中去摸索和探討數學的相關概念，似乎顯得有些難為情，認為這是小學生才干的事.如果給一個實際的問題，讓他們用所學的數學知識來解答（通常要建立數學模型），他們中的部分人又難以解決.可以說，現在的很多學生都是“眼高手低”.

為培養學生的動手能力，教師可通過具體的例子來進行操作.在講到柱面和旋轉曲面時，可讓學生觀察教室的相關物品，找出具有柱面和旋轉曲面特征的物體，分析相應曲面的母線、準線、旋轉軸等，反過來利用這些曲線來生成柱面和旋轉曲面，最后在稿紙上畫出這些圖形.在講二次曲面時，教師可事先讓空間想象能力不好的同學準備幾塊橡皮泥，在課堂上講完相關的概念并通過多媒體展示后，讓他們用橡皮泥來捏一些二次曲面的圖形，多角度地進行觀察，以此來加強圖形的認識和理解.與此同時，讓空間想象能力好的同學在腦海中生成這些曲面的圖形，讓這些圖形在腦海中產生旋轉、翻轉甚至扭曲，以此進一步提高空間想象能力.課后，我們讓學生四人為一組，利用所學習的空間曲面和曲線，設計一個具有美感和實用性的生活用品，例如水杯、飯盒、臉盆等，可提交實際的作品也可以畫一些設計示意圖，以此計入學生的平時成績.

以上只是結合教學實踐概括的一些教學想法.我們深知我們在高等數學教學之路上，仍然任重而道遠.

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